5.4.5. Спектральное описание циклических кодов

Рассмотрим еще один подход к описанию полиномиальных кодов, который основан на использовании дискретного преобразования Фурье (ДПФ) кодовых последовательностей, заданных над конечным полем . Данный подход, подробно изложенный в [30], позволяет в ряде случаев упростить процедуры кодирования и декодирования.

Пусть  – последовательность из  элементов конечного поля , причем  делит  для некоторого , и пусть  – примитивный элемент порядка  в расширении поля . Дискретным преобразованием Фурье вектора  над конечным полем  называется последовательность  элементов поля  задаваемая равенством

В матричной форме ДПФ может быть записано следующим образом

Такое определение аналогично определению ДПФ в поле комплексных чисел, где  заменяется на корень -й степени из единицы, равный  В связи с такой аналогией оказывается удобным называть индекс  «дискретным временем», а последовательность  – временной последовательностью (функцией). Тогда индекс  можно назвать «частотой», а последовательность  – частотным спектром или просто спектром.

Если векторы  и  связаны равенством (5.22), то существует обратное преобразование Фурье

Равенства (5.22) и (5.23) часто называют парой преобразований Фурье. Укажем на два наиболее важных свойства ДПФ.

1. Пусть ,  и  – временные последовательности, причем , . Тогда

Справедливо и обратное утверждение. Если

Эти утверждения носят название теорем о свертке в частотной и временной областях.

2. Если вектор  во временной области и его преобразование Фурье  заданы в виде полиномов

то элемент  поля  является корнем полинома тогда и только тогда, когда частотный компонент  равен нулю; элемент  является корнем  тогда и только тогда, когда -я компонента  равна нулю.

На основе спектрального подхода можно дать еще одно равнозначное определение циклическому коду как множеству таких слов над конечным полем , у которых все спектральные компоненты, принадлежащие заданному множеству частот, называемых проверочными, равны нулю.