3.1.2. Задача оптимального приема

Рассмотрим сначала наиболее простую задачу теории обнаружения сигналов. Допустим, что некоторый объект, интересующий наблюдателя, может находиться в одном из двух состояний  или . Такими состояниями могут быть, например, наличие или отсутствие цели в зоне действия РЛС, передача сигнала «0» или «1» по каналу связи, работоспособность или отказ устройства и др. В каждом конкретном эксперименте объект находится в состоянии  или в состоянии  с вероятностями  и  соответственно. Поскольку действительное состояние объекта наблюдателю не известно, то можно лишь выдвинуть предположение (гипотезу)  о том, что объект находится в состоянии  и альтернативное предположение .

В зависимости от состояния  или  объекта результаты  эксперимента имеют плотность распределения вероятностей (ПРВ)  или ПРВ . На основе анализа наблюдений  необходимо определить, в каком именно состоянии находится объект.

В этих терминах задача состоит в том, чтобы на основе наблюдении  проверить справедливость гипотезы . Любое правило проверки гипотезы каждому конкретному результату эксперимента  должно поставить в соответствие определенное решение. Но это означает, что при заданном правиле решения среди всех возможных исходов  можно выделить область , где принимается гипотеза . Если же результат наблюдения , то принимается решение .

Так, например, если производится только одно наблюдение  на отрезке , то для конкретного значения  должно быть принято либо решение , либо . Таким образом, множество  всех точек отрезка (всех возможных исходов эксперимента) разбивается на две области  и  (рис.3.1,а).

Если , то принимается решение о справедливости гипотезы ; если же , то предпочтение отдается гипотезе . Когда производится два наблюдения , , множество всех исходов эксперимента представляется точками плоскости  (рис.3.1,б). Поскольку каждому исходу  соответствует конкретное решение  или , то все множество  так же, как и в одномерном случае, должно быть разделено на два подмножества  и  (рис.3.1,б).

Очевидно, в общем случае выборки  произвольного объема -мерная область  всех возможных исходов опытов разбивается на две подобласти  и . Область , где принимается гипотеза , называют допустимой областью. Вторую область , отклонения гипотезы , называют критической.

Таким образом, построение оптимального правила проверки гипотезы  может трактоваться как нахождение наилучшего разбиения пространства  всех возможных результатов эксперимента на две области  и  или, что в данном случае то же самое, как выбор наилучшей допустимой области.

Для того чтобы выяснить, что следует понимать под наилучшим разбиением, необходимо ввести критерий качества правила принятия решения. Поскольку состояние объекта заранее не известно, а прием сигналов затруднен помехами, то при использовании любого правила решения возможны ошибки. С этой точки зрения после принятия решения возможны четыре ситуации, схематично изображенные на рис.3.2.

Две из них соответствуют правильным решениям (сплошные линии) и две – ошибочным (пунктир). Ошибка, в результате которой принимается решение  при нахождении объекта в состоянии , называется ошибкой первого рода. Другая ошибка – ошибкой второго рода.

В задачах обнаружения цели состояние  и гипотеза  соответствуют отсутствию цели, и ошибка первого рода обычно называется ложной тревогой. Ошибка второго рода состоит в принятии неверного решения об отсутствии цели, когда цель присутствует, и называется пропуском цели.

Используя формулу (1.45), нетрудно записать следующие выражения для вероятности ошибки 1 рода [6]:

и вероятности ошибки 2 рода:

где    .

Вместо  можно использовать вероятность противоположного события, т.е. вероятность правильного решения. Очевидно:

Для заданного размера выборки невозможно одновременно сделать сколь угодно малыми вероятности ошибок первого и второго рода. Например, чтобы уменьшить вероятность ложной тревоги , следует уменьшить размер критической области , но тогда увеличивается размер допустимой области  и возрастает вероятность ошибки второго рода (3.2). Поэтому «разумный» критерий оптимальности должен быть построен на основе какого-либо компромисса между вкладом двух типов возможных ошибок в общую характеристику или общие показатели системы обнаружения.

Одним из возможных способов построения критерия оптимальности может быть байесовский подход, общая методология которого рассматривалась в предыдущем разделе применительно к задачам оценивания параметров. Точно так же основой байесовского подхода к проблемам обнаружения является введение функции потерь, которая приписывает каждой из четырех возможных ситуаций (рис.3.2) определенную плату. При этом обычно правильным решениям соответствует нулевой размер штрафа. Ошибке первого рода поставим в соответствие  плату , а ошибке второго рода – плату размером . Тогда средние потери составят величину

,                                              (3.4)

которая и принимается как критерий качества обнаружения. При этом обнаружитель, для которого средние потери  минимальны, называется оптимальным байесовским обнаружителем.

Подставляя выражения (3.1) и (3.2) в формулу (3.4), получим следующую связь средних потерь с видом критической области:

.          (3.5)

Очевидно, потери минимальны, если интеграл

                                  (3.6)

достигает максимального значения.

Какие же точки пространства  возможных исходов эксперимента следует включить в область  для максимизации выражения (3.6)? Простой анализ показывает, что при наблюдении  следует проверить – положительным или отрицательным окажется подынтегральное выражение (3.6). Если

                               (3.7)

то такую точку  следует отнести к критической области . Действительно, после добавления такой точки вместе с некоторой окрестностью к области  возрастает интеграл (3.6) по этой области и, следовательно, уменьшаются средние потери (3.5). Таким образом, неравенство (3.7) определяет все точки критической области . Но это, в свою очередь, означает, что для наблюдений, удовлетворяющих неравенству (3.7), следует принимать верной гипотезу , а для остальных точек – гипотезу . Переписывая неравенство (3.7), определяющее критическую область, в форме

,                                                      (3.8)

где  – отношение правдоподобия;  ; можно заметить, что формула (3.8) определяет алгоритм обработки входных данных . Действительно, оптимальный обнаружитель должен формировать на основе наблюдений  отношение правдоподобия  и производить сравнение этого отношения с пороговым уровнем . Если , то выносится решение в пользу гипотезы . При  принимается, что справедлива гипотеза . Так же, как и при оценивании параметров, можно вместо отношения правдоподобия сравнивать с пороговым уровнем любую монотонную функцию, например, . При этом достаточно изменить величину порога обнаружения и положить, что .

Рассмотрим пример решения задачи поcледетекторного обнаружения радиосигнала по совокупности независимых наблюдений . При отсутствии сигнала эти наблюдения подчиняются закону распределения Релея:

.                       (3.9)

Появление полезного сигнала вызывает увеличение параметра  в  раз, где  – отношение сигнал/шум. При этом

.                           (3.10)

Для нахождения оптимального алгоритма обнаружения составим отношение правдоподобия

и будем сравнивать его с порогом , зависящим от априорных вероятностей наличия  и отсутствия  полезного сигнала и стоимостей  и  ошибок. После логарифмирования можно записать оптимальную процедуру обнаружения в виде сравнения с пороговым значением  суммы квадратов наблюдений, т.е.

                                 (3.11)

Одним из существенных недостатков байесовского правила обнаружения сигналов является большое количество априорной информации о потерях и вероятностях состоянии объекта, которая должна быть в распоряжении наблюдателя. Этот недостаток наиболее отчетливо проявляется при анализе радиолокационных задач обнаружения цепи, когда указать априорные вероятности наличия цели в заданной области пространства и потери за счет ложной тревоги или пропуска цели оказывается весьма затруднительным. Поэтому в подобных задачах вместо байесовского критерия обычно используется критерий Неймана-Пирсона. Согласно этому критерию выбирается такое правило обнаружения, которое обеспечивает минимальную величину вероятности пропуска сигнала (максимальную вероятность правильного обнаружения) при условии, что вероятность ложной тревоги не превышает заданной величины . Таким образом, оптимальное, в смысле критерия Неймана-Пирсона, правило обнаружения минимизирует

                                    (3.12)

при дополнительном ограничении

.                                    (3.13)

Для поиска оптимальной процедуры обработки данных преобразуем задачу на условный экстремум (3.12) при условии (3.13) к задаче на безусловный экстремум. С этой целью воспользуемся методом множителей Лагранжа [39]. Введем множитель Лагранжа  и запишем функцию Лагранжа

.                            (3.14)

После преобразований, аналогичных выводу формулы (3.5), соотношение (3.14) можно переписать в виде:

.

Сравнение полученного выражения с формулой (3.5) показывает, что минимум функции Лагранжа достигается, если в качестве критической области выбрать совокупность точек , удовлетворяющих неравенству

.                                        (3.15)

При этом множитель , являющийся пороговым значением, должен находиться из условия (3.13) равенства вероятности ложной тревоги заданной величине .

Из сравнения (3.15) и (3.8) можно заключить, что оптимальное, в смысле критерия Неймана-Пирсона, правило обнаружения отличается от байесовского лишь величиной порогового уровня, с которым производится сравнение отношения правдоподобия.

В качестве примера построения обнаружителя (3.15) рассмотрим задачу проверки гипотезы :

,

при альтернативе

.

Такая задача возникает в тех случаях, когда появление полезного сигнала вызывает изменение среднего значения нормального шума на величину . При независимых отсчетах  входного процесса отношение правдоподобия может быть записано в виде

.

После логарифмирования получаем следующий алгоритм обнаружения сигнала:

                                               (3.16)

причем пороговый уровень  выбирается из условия

.                                        (3.17)

Поскольку сумма  нормальных случайных величин (СВ) подчиняется нормальному закону распределения, то при отсутствии сигнала можно записать следующее выражение для условной ПРВ . С учетом формул табл.1 соотношение (3.17) перепишется в форме . Из этого равенства по таблицам функции Лапласа  [40] можно определить величину порогового уровня . Так, при  получим ; при .