1.7. Сигналы как случайные процессы

Случайные сигналы и помехи относятся к случайным явлениям природы, изучением основных закономерностей которых занимается теория вероятностей. Все случайные явления, изучаемые в теории вероятностей, можно разбить на три типа: случайные события, случайные величины и случайные процессы. Каждый из этих типов случайных явлений имеет свои особенности и характеристики.

Для математического описания сигналов и помех необходимо решить две задачи. К какому типу случайных явлений отнести случайный сигнал (помеху) в конкретной ситуации и как определить необходимые вероятностные характеристики?

Напомним важнейшие понятия теории вероятностей, необходимые для описания случайных сигналов и помех.

Случайные события. Случайное событие – это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Это и передача текста без ошибок, и работа канала связи без повреждений не менее  часов, и превышение помехой заданного уровня и т. д. Обозначаются случайные события начальными прописными буквами латинского алфавита: .

Напомним, что вероятность  произведения  случайных событий  равна произведению условных вероятностей этих событий:

.                   (1.30)

Для  независимых событий условные вероятности  появления события  равны безусловным  . Поэтому вероятность произведения  независимых событий определяется по   формуле .

Сумма  двух совместных событий может быть представлена как сумма  трех несовместных. С учетом очевидных соотношений ,  и     можно найти формулу для вероятности суммы двух совместных событий в виде

                             .                              (1.31)

Однако уже для суммы трех совместных событий  и  подобная формула будет содержать семь слагаемых. Поэтому для вычисления вероятности  суммы,  большого числа слагаемых обычно переходят к противоположному событию :

                                  .                                   (1.32)

Эта формула упрощается, если события  совместны, но независимы. Тогда

                                .                                (1.33)

Приведенное выражение (1.33) часто встречается в расчетах надежности системы параллельно соединенных устройств. Действительно, система с параллельным соединением элементов работает безотказно, когда работает хотя бы один из ее элементов (устройств). При независимом функционировании каждого из элементов  с вероятностями безотказной работы  соответственно по формуле (1.33) находим вероятность безотказной работы всей  системы.

Предположим теперь, что событие  может произойти одновременно с одним из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу. Событиями  часто являются взаимоисключающие предположения об условиях проведения эксперимента, результатом которого может быть случайное событие . Например, две гипотезы  и  можно связать с передачей сообщений «0» или «1» по каналу связи с помехами, а случайное событие  с превышением выходным напряжением приемника порогового уровня.

В подобных схемах заданы вероятности гипотез  и условные вероятности появления события , когда справедливы предположения . Безусловную вероятность события  можно найти с помощью формулы полной вероятности:

                                            .                                  (1.34)

Если стало известно, что в результате испытания событие  произошло, то условная вероятность гипотезы  (апостериорная вероятность гипотезы ) определяется по формуле Бaйeca:

                                         .                                (1.35)

Возможность переоценки вероятностей гипотез после проведения эксперимента может быть показана на примере приема двоичных сигналов. Допустим, что вероятности передачи сигналов «0» и «1» одинаковы: , а вероятности превышения порогового уровня при передаче сигналов «0» и «1» значительно отличаются, скажем, . В результате наблюдения установлено превышение порогового уровня (т.е.  произошло событие ). Очевидно, предпочтение после получения такой информации следует отдать гипотезе  (передача сигнала «1»). Количественно охарактеризовать это "предпочтение" позволяет формула Байеса. Действительно, расчет по формуле (1.35) с учетом (1.34) дает следующий результат:  .

Большую роль при анализе цифровых систем обработки сигналов играет следующая схема. Пусть  раз при постоянных условиях повторяется один и тот же опыт, с которым связано случайное событие , имеющее вероятность . При этом предполагается, что исход каждого опыта не зависит от результатов других опытов. Тогда вероятность  того, что в этой последовательности    опытов событие  появится ровно  раз (безразлично в каком порядке) находится по формуле Бернулли:

                               ,                                (1.36)

где . Правая часть формулы имеет вид общего члена разложения бинома Ньютона: . Поэтому совокупность чисел , называют биноминальным распределением вероятностей.

Так как числа , являются вероятностями попарно несовместных событий, то вероятность  того, что число появления события  в  опытах будет заключено в пределах от  до , определяется с помощью суммирования:

                       .                        (1.37)

На практике часто встречаются задачи, когда число испытаний  велико и вычисления по формуле Бернулли затруднены. Для этих случаев применяются приближенные методы расчета. При малых  и ограниченных значениях  используется формула Пуассона:

                            .                            (1.38)

По этой формуле для любых   легко выполняются расчеты с помощью таблиц распределения Пуассона [42] или на ЭВМ.

Если  фиксировано, а  и  стремятся к бесконечности при ограниченном отношении , то может быть использована асимптотическая формула Лапласа:

                            .                             (1.39)

Когда  не слишком близко к нулю или единице, формула (1.39) может быть достаточно точна уже при  порядка нескольких десятков. Сумма вероятностей (1.37) при этом хорошо аппроксимируется следующим выражением:

                    ,                    (1.40)

где  – функция Лапласа [40].

Следует подчеркнуть, что применение приближенных асимптотических соотношений всегда должно сопровождаться контролем величины погрешности. Для этого могут использоваться точные формулы, специальные аналитические методы [40] или результаты экспериментов.

Случайные величины. Величина, которая принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно, называется случайной. Число ошибок в тексте, число занятых каналов многоканальной системы связи, уровень помехи в канале, мощность сигнала на выходе линии связи – это все примеры случайных величин (СВ).

Будем обозначать СВ прописными буквами латинского алфавита , а значения, которые они принимают, – строчными буквами .

СВ делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина  может принимать только конечное множество значений , непрерывная – любые значения  из некоторого интервала, даже бесконечного.

Для математического описания СВ вводятся следующие неслучайные основные статистические характеристики [5, 13, 32, 39]:

Будем рассматривать множество всех случайных исходов, возможных при данном испытании. Предположим, что каждому исходу  этого испытания соответствует число . Тогда множество исходов отображается в некоторое числовое множество. Такое отображение, т.е. числовая функция , построенная на множестве исходов эксперимента, называется случайной величиной (СВ). Примерами СВ могут быть число единиц в последовательности  двоичных символов, значение напряжения на выходе приемника в фиксированный момент времени и т.д.

Если число  возможных исходов  конечно или cчетно, то CB  называется дискретной. Дискретная СВ может быть описана с помощью задания всех вероятностей , с которыми СВ принимает значения , т.е. . Сумма этих вероятностей равна единице. Вместо набора  вероятностей свойства СВ могут быть заданы с помощью функции распределения

.                                           (1.41)

Как следует из определения, . Кроме того,  является неубывающей функцией. Для дискретных СВ эта функция имеет ступенчатый вид, причем каждая «ступенька» величиной  расположена в точке с абсциссой .

Другим важным классом является СВ, для которых функция распределения  непрерывна. Если  дифференцируема, то ее производная

                                            (1.42)

называется плотностью распределения вероятностей (ПРВ) непрерывной случайной величины.  Поскольку

,

то  ПРВ можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной величины на отрезок  к длине  этого отрезка при  . Очевидно, , т.е. вероятность попадания СВ на отрезок  численно равно площади под графиком ПРВ. В отличие от дискретных непрерывные СB принимают несчетное множество значений. Вероятность того, что непрерывная СВ примет любое конкретное значение, например , равна нулю.

Важнейшими числовыми характеристиками СВ являются математическое ожидание

,                                 (1.43)

дисперсия

                        (1.44)

и среднее квадратическое отклонение . Обобщением числовых характеристик являются начальные моменты распределения СВ

                              (1.45)

и центральные моменты

.                       (1.46)

Напомним, что , а числа   и  называются коэффициентами асимметрии и эксцесса. Ряд часто встречающихся в  статистической радиотехнике распределений и соответствующих числовых характеристик СВ приведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Системы случайных величин. В тех случаях, когда с каждым исходом  эксперимента связана пара чисел  и , соответствующее отображение  называется двумерной СB или системой двух СВ и обозначается . Например, если случайный сигнал  на выходе радиоприемного устройства наблюдается в два момента времени  и , то упорядоченная пара возможных значений сигнала  и  представляет собой двумерную CB .

Двумерную СB  можно рассматривать как случайную точку или как случайный вектор на координатной плоскости. При этом каждому конкретному исходу опыта  ставится в соответствие точка плоскости с координатами  и .