3.1.3. Вычисление вероятностей ошибок

Рассмотрим методы анализа помехоустойчивости систем обнаружения сигналов, т.е. методы расчета вероятности ложной тревоги (3.1) и вероятности пропуска сигнала (3.2) (или вероятности правильного обнаружения (3.3)). Подобные расчеты являются обязательным этапом проектирования систем обнаружения, осуществляемым после синтеза оптимального алгоритма.

Как было показано в п.3.1, оптимальный по нескольким критериям качества алгоритм обнаружения сигналов состоит в сравнении с порогом отношения правдоподобия. Для независимых отсчетов  входного процесса такой алгоритм может быть записан в форме произведения

                                 (3.18)

После логарифмирования (3.18) процедура обработки приводится к виду:

,                                            (3.19)

где . Таким образом, для расчета вероятностей

                         (3.20)

необходимо найти ПРВ  и  и вычислить интегралы (3.20). Поскольку для расчета (3.20) при известных ПРВ  и  могут эффективно использоваться численные методы интегрирования, то, как правило, наиболее трудоемким является определение ПРВ суммы  СВ , полученных, вообще говоря, нелинейным преобразованием .

Условные законы распределения каждого слагаемого  находят с помощью формулы (1.36). Для рассматриваемой задачи выражение (1.36) перепишется в виде:

.                      (3.21)

Заметим, что в правой части (3.21) необходимо заменить  на функцию , полученную в результате решения уравнения  относительно .

После нахождения ПРВ (3.21) требуется определить законы распределения суммы  независимых СВ . Для этого используется либо точный подход, основанный на вычислении характеристических функций (1.39), либо приближенный, базирующийся на центральной предельной теореме теории вероятностей.

Точный расчет характеристик обнаружения осуществляется следующим образом. Вначале находятся характеристические функции слагаемых:

;          .       (3.22)

Затем характеристические функции суммы  определяются как произведения характеристических функции слагаемых:

,        .                           (3.23)

Наконец, с помощью обратного преобразования Фурье (1.39) вычисляются искомые ПРВ.

,   .  (3.24)

В качестве примера проведем расчет характеристик алгоритма обнаружения (3.11)  , синтезированного для релеевских ПРВ (3.9), (3.10).

При наличии полезного сигнала ПРВ слагаемых     могут быть найдены с помощью формулы (3.21)

,

где . Характеристические функции имеет один и тот же вид

 для всех слагаемых. Поэтому легко находится характеристическая функция суммы  независимых СВ

.

Интеграл в обратном преобразовании Фурье (3.24)

наиболее просто вычисляется с помощью вычетов. Интегрируя последнее выражение еще раз с помощью таблиц [36], получаем следующую расчетную формулу для вероятности правильного обнаружения

,                (3.25)

где  – неполная гамма-функция, табулированная, например, в [40]; .

При отсутствии полезного сигнала изменяется лишь параметр , но все приведенные преобразования остаются справедливыми. Поэтому вероятность ложной тревоги также находится по формуле (3.25), если положить, что  :

.                                             (3.26)

В радиолокационных задачах обнаружения полученные формулы (3.25) и (3.26) обычно используются следующим образом. По заданной вероятности ложной тревоги  из соотношения (3.26) определяют порог обнаружения  . При этом удобно использовать широко распространенные таблицы распределения  [42], поскольку

,

где  – табулированная функция (распределение  [42]). После определения  формула (3.25) позволяет рассчитать характеристики обнаружения, т.е. зависимость вероятности правильного обнаружения  от величины отношения сигнал/шум . Такие характеристики приведены на рис.3.3 для двух значений вероятностей ложной тревоги  и  при . Соответствующие значения порога обнаружения  и  находятся по формуле (3.26).

Рис. 3.3. Характеристики обнаружения сигналов

С помощью характеристик обнаружения можно по заданным значениям  и  определить необходимую величину порогового сигнала , обеспечивающую требуемое качество обнаружения.

Рассмотренный метод дает возможность рассчитывать точные характеристики обнаружения сигналов. Однако во многих задачах возникают значительные, а иногда и непреодолимые, математические трудности, связанные, чаще всего, с нахождением обратного преобразования Фурье (3.24). В подобных ситуациях используют приближенный метод расчета характеристик, заключающийся в следующем. Если  велико и дисперсии  ограничены, то распределение суммы большого числа независимых СВ  согласно центральной предельной теореме приближается к нормальному [29, 40]:

     ,           (3.27)

где    и  – условные математические ожидания и дисперсии , когда справедливы гипотезы  и  соответственно. Параметры (3.27) обычно могут быть вычислены достаточно просто, поскольку

,               

,             

причем, с учетом основной теоремы (1.37) о математическом ожидании,

  .       (3.28)

После выполнения указанных преобразований искомые вероятности

       (3.29)

находятся по таблицам функции Лапласа. Рассматривая в качестве примера правило  обнаружения релеевского сигнала, запишем последовательно

      ,

        .     (3.30)

Полагая и , по таблицам функции Лапласа [40] находим  и  соответственно. Сравнивая теперь эти значения с пороговыми уровнями и , рассчитанными с помощью точного соотношения (3.26), видим, что погрешность выше при меньшей вероятности ложной тревоги.

Для оценки применимости метода аппроксимации нормальным распределением в рассматриваемом примере на рис.3.3 нанесены пунктирные кривые, найденные с помощью приближенной формулы (3.30). Анализ приведенных зависимостей показывает, что приближенный метод приводит к значительным погрешностям при вероятности ложной тревоги . Вместе с тем погрешность при  во многих задачах может считаться допустимой. Кроме того, следует отметить, что приведенные погрешности соответствуют относительно малому значению , принятому в данной задаче. При обработке большего числа наблюдений погрешности за счет нормальной аппроксимации заметно уменьшаются, и при  точность приближенного метода, как правило, становится удовлетворительной.

К сожалению, в общем случае нельзя дать достаточно надежную аналитическую оценку погрешности, возникающей при замене действительного распределения суммы  нормальным. Поэтому при использовании приближенного метода расчета характеристик обнаружения необходимо применять те или иные приемы обеспечения достаточной степени уверенности в справедливости найденных результатов. Одним из таких приемов является метод статистического моделирования [6]. Суть метода заключается в формировании с помощью ЭВМ последовательности  псевдослучайных выборок  с ПРВ  , где , вычислении для каждой выборки суммы , и построении на основе случайных чисел , гистограммы , аппроксимирующей искомую ПРВ . Совершенно аналогично формируется гистограмма ,  позволяющая дать оценку  вероятности правильного обнаружения . При этом погрешности оценивания вероятностей  и  зависят лишь от величин  или  и числа  экспериментов, т.е., в принципе, могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно больших объемах вычислений на ЭВМ.

Действительно, рассмотрим оценку , в качестве которой используется частота , где  – число превышений суммой  порогового уровня  в серии из  опытов. Поскольку  подчиняется биномиальному закону распределения (1.7) с параметром , то дисперсия ошибки оценивания вероятности правильного обнаружения определяется следующим образом:

.

Аналогично и . Итак, задавая погрешности оценивания  или , можно с помощью этих формул определить необходимое число  повторений эксперимента.

Метод статистического моделирования во многих случаях требует проведения очень большого числа экспериментов и, следовательно, значительного машинного времени. Например, при   получаем , иобщее количество  формируемых на ЭВМ псевдослучайных чисел, а также операций по вычислению  весьма велико. Для современных ЭВМ решение задач статистического моделирования часто требует  десятков или сотен часов непрерывной работы. Поэтому анализ помехоустойчивости радиосистем требует в сложных случаях искусного сочетания аналитических методов и экспериментов на ЭВМ.