Геометрический способ вычисления момента

Пусть даны сила F и ось (рис. 44). Проведем плоскость Н, перпендикулярную оси , и отметим точку О пересечения оси с этой плоскостью. Из начала и конца вектора силы опустим перпендикуляры на плоскость Н. Вектор называется проекцией силы F на плоскость Н. В отличие от проекции силы на ось, являющейся алгебраической величиной, проекция силы на плоскость является вектором, и с ней можно обращаться как с обычной силой — проектировать на оси, вычислять векторный и алгебраически моменты.

Рис. 44.

Так, алгебраический момент проекции относительно точки О имеет значение

где К - плечо этой проекции относительно точки О.

Изобразим момент силы F относительно точки О и заметим для дальнейшего, что для модуля момента справедливо равенство

устанавливающее, что модуль момента равен удвоенной площади треугольника ОАВ (доказать самостоятельно). Вычисляя теперь момент силы относительно оси в соответствии с определением, последовательно находим

В третьем из написанной цепочки равенств использована теорема геометрии о том, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость (в нашем случае площадь треугольника ОАВ) равна площади проектируемой фигуры (треугольника ОАВ), умноженной на косинус угла между плоской фигурой и ее проекцией. Знак плюс соответствует острому углу между и осью , знак тупому углу между ними (на рис. 44 изображен первый случай).

Отбрасывая в полученной цепочке равенств промежуточные значения, получаем:

Этим равенством устанавливается следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, вычисленному относительно точки пересечения оси с плоскостью. При этом правило для определения знака алгебраического момента остается прежним, если на силу и точку О смотреть с положительной стороны оси .

Из полученного правила ясно видны случаи, когда момент силы относительно оси равен нулю. Это имеет место в двух случаях:

1) когда сила параллельна оси (в этом случае имеем );

2) когда сила пересекает ось (в этом случае ).

Заметим, что данный (геометрический) способ вычисления момента силы относительно оси находит преимущественное использование при решении задач статики.

Пример.

Вычислить моменты относительно координатных осей силы F, действующей по диагонали грани DEKL параллелепипеда. Угол наклона силы к основанию параллелепипеда равен , длины ребер составляют: (рис. 45).

Рис. 45.

Воспользуемся сначала более употребительным геометрическим способом. Для определения момента относительно осих силу F следует спроектировать на какую-либо плоскость, перпендикулярную оси . На рис. 45 уже имеются две такие плоскости - плоскость и плоскость грани ABDK. Выбираем эту последнюю за плоскость Н, находим проекцию силы F на эту плоскость , отмечаем точку А пересечения выбранной плоскости с осью х. Далее, вычисляя алгебраический момент силы относительно точки А, находим момент силы F относительно оси :

При вычислении момента относительно оси у замечаем, что сила F уже лежит в плоскости, перпендикулярной и пересекающейся с этой осью в точке L. В этом случае проекция равна самой силе F, и момент силы F относительно оси у совпадает с алгебраическим моментом силы F относительно точки :

Для определения момента относительно оси в качестве плоскости Н удобно принять координатную плоскость . Проекция силы F на эту плоскость равна вектору с модулем . Вычисляя алгебраический момент этой проекции относительно точки О, находим:

При аналитическом способе вычисления осевых моментов прежде всего определяем проекции силы на координатные оси и проекции радиуса-вектора точки приложения силы (координаты точки К):

Применяя теперь аналитические выражения для моментов силы относительно координатных осей, находим: