Определение ускорения

Будем исходить из общей формулы для ускорения

Пусть, для определенности, точка движется в положительную сторону отсчета дуг, тогда вектор скорости выражается формулой

где - модуль скорости, - орт касательной. В общем случае криволинейного движения переменны оба сомножителя в этой формуле; последний- вследствие изменения направления касательной. Поэтому орт имеет производную по времени, которая выражается формулой

где и - соответственно орт главной нормали и радиус кривизны траектории в рассматриваемом положении движущейся точки.

Дифференцируя по времени выражение для скорости, получим

Формула выражает ускорение точки в виде суммы составляющих по осям естественной системы координат. Из нее следует, что ускорение имеет на эти оси проекции

Первая из них есть проекция ускорения а на касательную и называется касательным ускорением. Вектор касательного ускорения

направлен в сторону скорости, если движение ускоренное , и против скорости, если движение замедленное .

Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Модуль и вектор нормального ускорения выражаются формулами

Так как величина положительна, нормальное ускорение всегда направлено в сторону орта , то есть по главной нормали в сторону вогнутости траектории.

Проекция ускорения на бинормаль равна нулю, что означает, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости. Таким образом, ускорение при естественном способе задания движения точки определяется как сумма касательного и нормального ускорений:

Это правило дополнительно проиллюстрировано на рис. 87, где случай а) соответствует ускоренному движению точки, а случай 6) - замедленному движению. Модуль ускорения в обоих случаях определяется по теореме Пифагора:

Рис. 87.

Если точка движется прямолинейно, то нормальное ускорение не возникает , и ускорение состоит только из касательного: .

При равномерном криволинейном движении (), наоборот, отсутствует касательное ускорение , и полное ускорение точки равно ее нормальному ускорению: .

Пример.

Точка движется по окружности радиуса согласно закону . Вычислить и построить скорость и ускорение точки в момент , когда она пройдет половину окружности.

В момент дуговая координата точки равна половине длины окружности: , откуда находим

Определяем скорость точки в момент расчетный момент :

Определяем касательное ускорение

Видно, что оно не изменяется с течением времени - точка движется равноускоренно. Это же значение касательное ускорение имеет и в расчетный момент:

Определяем нормальное ускорение

Определяем полное ускорение в момент :

На рис. 88 показаны положения точки в текущий (М) и расчетный моменты времени, а также векторы скорости и ускорений точки в момент .

В заключение заметим, что от одного способа задания движения можно перейти к другим способам. Например, при определении скорости в случае координатного способа описания движения был предварительно сделан переход к векторному способу в виде

Рис. 88.

Чтобы перейти от координатного способа к естественному, прежде всего требуется найти уравнение траектории. Как было показано выше, это делается исключением из уравнений движения времени t. Закон движения по траектории можно получить на основе равенств определяющих скорость точки при естественном и координатном способах задания движения.

Приравняв правые части равенств, разрешая полученное соотношение относительно и интегрируя, находим

Это выражение определяет закон движения по траектории в общем виде.

Если отсчет дуговой координаты вести от начального положения точки в сторону движения, то радикал положителен, и закон движения примет вид