Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, когда всякая прямая, мысленно проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе.

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (конгруэнтные) траектории и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости и ускорения.

Доказательство. Пусть тело движется поступательно (рис. 91). Произвольно выберем в теле две точки и . Вектор эти точки, при поступательном движении тела является постоянным вектором - его направление остается постоянным в соответствии с определением поступательного движения, модуль - в силу неизменности расстояний между точками абсолютно твердого тела. Следовательно, для радиусов-векторов выделенных точек в любой момент времени выполняется соотношение:

Рис. 91.

Это равенство означает, что если положение точки в какой-то момент времени стало известно, то положение точки в этот момент найдется путем смещения точки на векторную величину , одинаковую во все моменты времени. Поэтому, если известно геометрическое место положений (траектория) точки , то геометрическое место положений (траектория) точки получается путем сдвига траектории точки в направлении и на величину вектора . Что и доказывает конгруэнтность траекторий точек и . Поскольку точки выбраны произвольно, то конгруэнтны траектории всех точек тела.

Дифференцируя написанное равенство последовательно два раза по времени, убеждаемся в справедливости и второй части теоремы:

Общая для всех точек тела скорость и называется скоростью тела; общее для всех точек ускорение - ускорением тела. Сразу заметим, что эти термины имеют смысл только при поступательном движении; во всех других случаях движения тела отдельные точки тела имеют разные скорости и ускорения.

Из всего сказанного следует, что изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки. Именно, в теле выбирается точка, движение которой определяется наиболее просто, и методами кинематики точки определяются ее траектория, скорость, ускорение. Траектории, скорости и ускорения остальных точек определяются простым переносом кинематических характеристик выделенной точки.

Пример.

Определить траекторию, скорость и ускорение точки М, жестко связанной со звеном АВ механизма спарника (рис. 92), если , а угол .

Замечаем, что звено АВ механизма движется поступательно. Движение его точки А, которая одновременно служит концом кривошипа , легко определяется. Выделим эту точку и найдем ее кинематические характеристики.

Непосредственно видно, что траекторией точки А является окружность с центром в точке и радиусом . Сместив эту окружность так, чтобы ее центр оказался в точке О, причем , получаем траекторию точки М.

Рис. 92.

Для определения скорости и ускорения точки М сначала найдем эти величины для точки А, для которой уравнения движения имеют особенно простой вид:

Определяем скорость и ускорение , вычисляя их проекции на координатные оси:

По найденным проекциям строим при точке А ее скорость и ускорение . Скорость и ускорение точки М геометрически равны скорости и ускорению точки А. Остается перенести эти векторы в точку М и поменять индекс.