Частные случаи системы сил

Плоская система сил

Совокупность , расположенных в одной плоскости, называется плоской системой . Выберем центр приведения О и координатные оси в той же плоскости, ось z направим перпендикулярно к ней Для проекции главного вектора и главного момента на эти оси будем иметь: .

Величины равны нулю , а значащие проекции определяются по формулам:

Заметим, что моменты сил относительно оси z в данном случае совпадают с алгебраическими моментами сил относительно точки О, что и учтено в формуле для .

Видно, что скалярное произведение поэтому главный вектор и главный момент, если не равны нулю, то взаимно перпендикулярны. Отсюда следует, что для плоской системы сил возможны только два случая приведения к простейшему виду - к паре сил (если и к равнодействующей (если ).

Условия равновесия, представляющие собой координатную запись векторных равенств , запишутся так:

Следовательно, для плоской произвольной системы сил имеются три независимых условия (уравнения) равновесия - должны равняться нулю алгебраические суммы проекций сил на две координатные оси и сумма алгебраических моментов сил относительно произвольной точки, взятой в плоскости действия сил.

Пример.

Найти реакцию цилиндрического шарнира и натяжения ветвей троса, удерживающих в равновесии ступенчатую балку АВС (рис. 52, а). К балке приложены пара сил с моментом , сосредоточенная сила и равномерно распределенная сила интенсивностью , действующие в одной плоскости. Принять , , блок считать идеальным.

Распределенную силу, представляющую собой плоскую систему параллельных сил, заменяем равнодействующей - сосредоточенной силой Q, приложенной посередине участка ВС балки и равной по модулю .

Рис. 52.

Мысленно отбрасываем связи, заменяя их действие реакциями- силами . Вследствие идеальности блока (отсутствия трения в оси блока) натяжения ветвей троса по величине одинаковы: .

В полученной плоской системе сил (рис. 52, б) неизвестными являются силы , и величина Т сил и . Для их определения воспользуемся условиями равновесия плоской произвольной системы сил. Выбираем координатные оси и составляем уравнения равновесия:

Для удобства определения момента сила P разложена на составляющие вдоль координатных осей (на рис. 52, б показаны штриховыми линиями), после чего применена теорема Вариньона.

Из последнего уравнения, содержащего одну неизвестную ), находим . После подстановки значений в первое и второе уравнения определяем остальные неизвестные: , . Отрицательный знак величины означает, что реакция направлена в противоположную сторону.