Определение скоростей точек тела. Метод полюса

По заданным уравнениям плоскопараллельного движения можно вычислить и построить скорость полюса О и определить направление вращения и величину угловой скорости (рис. 100, а).

Нас будет интересовать величина и направление скорости произвольной точки М плоской фигуры. Для решения этой задачи выразим радиус-вектор точки М в виде суммы векторов, законы изменения которых в силу уравнений движения известны (см. рис. 99):

Рис. 100.

Дифференцируя это выражение по времени и имея в виду очевидные равенства

получим

Выясним смысл производной . С этой целью заметим, что вектор совпадает с производной вектора , вычесленной при условии, что .

Но при этом условии полюс О неподвижен, а плоская фигура только вращается вокруг полюса О. Следовательно, производная выражает линейную скорость точки М в этом вращательном движении. Обозначив ее через (произносится так: линейная скорость точки М в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса О), запишем:

Величина и направление определяются в полном соответствии с правилом определения скорости точки вращающегося тела. В частности, имеет место векторная формула

где - вектор угловой скорости тела (плоской фигуры).

В результате выражение для скорости произвольной точки М плоской фигуры принимает вид

Полученная формула выражает метод полюса, служащий наиболее общим методом определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Ему соответствует следующая словесная формулировка: скорость произвольной точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости точки, принятой за полюс, и линейной скорости во вращательном движении этой точки вместе с плоской фигурой вокруг полюса.

На рис. 100, б приводится геометрическая интерпретация полученного правила.

Пример.

Вычислить скорость точки В стрежня в примере на с. 97.

Движение стержня является плоскопараллельным. Выберем за полюс точку А стержня, тогда для точки В в соответствии с методом полюса можем написать:

Направления векторов только их модули.

Полученное векторное уравнение можно решать геометрически или аналитически. Геометрический способ состоит в построении и последующем решении треугольника (или параллелограмма) скоростей. Из точки В проводим вектор, геометрически равный скорости полюса , а из конца этого вектора проводим прямую, параллельную вектору (рис. 101). Точка пересечения этой прямой с осью , вдоль которой направлен искомый вектор , решает поставленную задачу геометрически. Остается решить полученный треугольник и вычислить . Будем иметь:

При аналитическом способе решения составляют и решают два скалярных уравнения, получаемые путем проектирования векторного уравнения для скоростей на подходящим образом выбранные координатные оси. Выбрав координатные оси как показано на рис. 101, получаем два уравнения с двумя неизвестными - и

Решая их, получаем для тот же самый результат.

Рис. 101.