19.2. Спектральные анализаторы, основанные на методе непосредственного преобразования Фурье

Среди трех рассмотренных выше методов спектрального анализа описываемый ниже метод является, бесспорно, наилучшим для применения в диапазоне частот от нуля до нескольких сотен килогерц. Анализаторы, построенные по этому принципу, обладают гораздо более высокой точностью, лучшими разрешением, линейностью и динамическим амплитудным диапазоном, чем анализаторы со сжатием времени.

Метод непосредственного преобразования Фурье основан исключительно на цифровой обработке данных. Сначала на высокой частоте берется выборка анализируемого сигнала, затем элементы выборки кодируются и с помощью быстрых цифровых преобразований вычисляется образ Фурье сигнала. Вначале преобразования Фурье выполнялись с помощью ЭВМ, однако из-за высоких требований к разрешению объемы вычислений так сильно возросли, что большие затраты машинного времени препятствовали дальнейшему развитию метода. Поэтому стали разрабатывать гораздо более эффективные приборы — цифровые фурье-анализаторы.

Дискретное преобразование Фурье и быстрое преобразование Фурье (БПФ).

Для того чтобы получить спектр случайного сигнала, достаточно вычислить его образ Фурье. Важно отметить, что эта операция состоит из умножения с последующим взвешенным интегрированием по типу вычисления среднего. Скорость выполнения этих действий средствами электронной цифровой техники в определенных случаях позволяет получать 1024 точки спектра примерно за 10 мс.

В непрерывной форме преобразование Фурье случайного сигнала имеет следующий вид:

где - случайный сигнал, - его спектр. На практике сигнал анализируется не в непрерывном виде, а в виде дискретной выборки определенного объема, каждый элемент которой берется через интервал времени Математически операцию дискретизации можно представить в виде умножения сигнала на последовательность коротких импульсов с периодом следования

Рис. 19.6.

Отметим, что верхний предел частоты в спектре анализируемого сигнала при этом должен быть равен (частота Найквиста или Шеннона).

Операция преобразования Фурье сводится, по существу, к вычислению средних значений по времени от последовательностей синусов и косинусов, которые определяют вклад сигнала на каждой из частот Действительные компоненты преобразования несут информацию об амплитуде, а мнимые — о фазе образа Фурье. На рис. 19.6 приведена упрощенная блок-схема фурье-анализатора. Требуемая для обработки длительность сигнала равна где — объем выборки. Спектральное разрешение

В табл. 19.1 установлена связь между различными параметрами преобразования в непрерывном и дискретном виде. Таким образом, дискретное преобразование Фурье можно записать в следующей форме:

. Если положить (нормирование на интервал времени между последовательными элементами выборки), его можно упростить:

Таблица 19.1. (см. скан)

М элементов выборки дают действительных и мнимых компонент, т. е. из выборки объемом 1024 получится спектр из 512 точек.

Рис. 19.7. (см. скан)

При анализе сигналов с помощью дискретного преобразования Фурье удобно представить весь исследуемый спектральный диапазон состоящим из участков, каждый шириной (рис. 19.7). После этого легко провести аналогию между отдельными участками и элементарными фильтрами в анализаторе с параллельными фильтрами, которой в дальнейшем мы будем широко пользоваться.

Для получения точек фурье-образа сигнала необходимо выполнить комплексных операций — умножений и сложений. Для уменьшения числа операций был предложен алгоритм быстрого преобразования Фурье (алгоритм Кули — Тьюки), который устраняет избыточность и использует соображения симметрии в расчетах [3—5]. По этому алгоритму требуется только операций, если число элементов в выборке

представляет собой степень числа 2. Таким образом, скорость вычислений возрастает в раз. Если, например, то и выигрыш во времени составляет 102 раза.

Обратное преобразование (восстановление случайного сигнала по известному спектральному составу) вычисляется по формуле

При выполнении спектрального анализа невозможно одновременно определить частоту и время. Возникает некоторая аналогия с соотношением неопределенностей Гейзенберга в. квантовой механике, которая связывает неопределенности в одновременных измерениях координаты и импульса частицы: . Минимальная неопределенность равна постоянной Планка . В спектральном анализе соотношение неопределенностей имеет вид и выражает невозможность одновременного точного определения времени и частоты.

Устройство анализатора на основе метода БПФ.

На рис. 19.8 приведена блок-схема такого анализатора.

Рис. 19.8.

Все операции в нем выполняются в цифровом виде, за исключением предварительной фильтрации входного сигнала, которая отсекает все частоты, превышающие половинную частоту дискретизации, для исключения ошибок наложения.

Противомаскировочный фильтр (разд. 7.6). Одна и та же выборка, представляющая значения сигнала в дискретные моменты времени, может соответствовать различным сигналам с различным спектральным составом, и в определенных случаях анализатор не в состоянии определить, какой именно сигнал подвергается анализу. Это явление зависит от соотношения между частотой дискретизации и максимальной частотой в спектре исследуемого сигнала. Все частоты в спектре сигнала, превышающие половинную частоту дискретизации (частоту Найквиста), за счет стробоскопического эффекта как бы отражаются от

Таблица 19.2 (см. скан)

этой частоты и переносятся на более низкие частоты, искажая исходный спектр. Для устранения наложений сигнал предварительно пропускают через низкочастотный фильтр, частота среза которого равна частоте Найквиста. Частотная характеристика фильтра должна иметь в этой области крутой излом, однако требования к крутизне уменьшаются по мере уменьшения максимальной частоты спектра сигнала, когда частота дискретизации превышает частоту Найквиста. Обычно граница пропускания фильтров выбирается равной а в некоторых случаях . В табл. 19.2 приведены значения наклонов частотных характеристик фильтров, необходимых для ослабления эффекта наложения на 70 дБ для некоторых типичных случаев наложения частоты среза по отношению к частоте дискретизации

Для того чтобы еще более ослабить эффект наложения, при анализе учитывается только 80% полосы эффективно обрабатываемых частот. Например, в анализаторах, использующих 1024 элемента выборки входного сигнала, вместо 512 вычисляются только 400 начальных точек спектра, причем наиболее высокие частоты отбрасываются.

Арифметическое устройство. Отфильтрованный сигнал сначала подвергается дискретизации, типичная частота которой 256 000 Гц, затем элементы выборки преобразуются в -битовый цифровой код и поступают в память. За интервал времени, в течение которого анализатор открыт для приема входного сигнала (временное окно), в память записывается элементов выборки. Преобразование Фурье сигнала представленного в памяти выборкой, реализуется по формуле

где соответствует частоте, — времени).

Вычисления проводятся с помощью арифметического устройства, в котором находятся заранее протабулированные значения синусов и косинусов всех необходимых углов в пределах . В действительности в памяти необходимо хранить только значений каждой из функций для 1 квадранта, из которых легко получаются остальные.

После того как цифровой код амплитуды элемента выборки поступает в память, арифметическое устройство производит его умножение на соответствующие тригонометрические функции для всех значений образуя действительную и мнимую части преобразования, и выполняет другие действия по алгоритму БПФ. Результат вычислений заносится в память анализатора.

Спектр мощности входного сигнала, равный квадрату модуля его фурье-образа, вычисляется затем по формуле

Спектр, полученный в результате обработки одной выборки и называемый мгновенным спектром, хранится в памяти.

Коррекция эффекта окна. Длительность временного интервала, в течение которого фурье-анализатор принимает входную информацию (временное окно), непосредственно влияет на результаты анализа. Для стационарного периодического сигнала, например, требования к длительности временного окна сводятся к тому, чтобы анализатор смог «увидеть» его по крайней мере в течение одного периода. Наблюдения последующих изменений сигнала не добавят информации и не увеличат точность полученного спектра (разумеется, при отсутствии шумов).

К сожалению, приведенный пример является исключением. В большинстве случаев все обстоит не так благополучно. К тому же этот пример содержит внутреннее противоречие, так как убедиться в том, что сигнал является стационарным и периодическим, можно, только наблюдая его в течение бесконечно долгого времени, что соответствует довольно продолжительному временному окну! Конечная длительность временного окна при обработке периодического сигнала приводит к тому, что результат получается не в виде идеальных спектральных линий, а каждая линия сопровождается боковыми выбросами. На рис. 19.9 приведены три спектральные линии одного и того же периодического сигнала, измеренного в трех временных окнах различной длительности. Каждый из спектров в действительности представляется функцией вида (гл. 6)

Еще раз отметим, что причиной появления боковых выбросов является не спектр исследуемого сигнала, а эффект временной фильтрации, который заключается в подключении и последующем отключении сигнала от входа анализатора (эффект обрезания).

Пульсации в спектре можно сильно подавить, устраняя резкие перепады сигнала на границах окна умножением его на плавно изменяющуюся функцию, обращающуюся в нуль за

пределами одна (весовая функция). Преобразование Фурье произведения сигнала и весовой функции дает свертку их преобразований Фурье. Недостаток этого метода заключается в существенном уширении спектральной линии. Преимущества и недостатки различных типов коррекции эффекта временного окна рассмотрены в гл. 14.

Рис. 19.9.

Применение весовых функций при анализе периодических сигналов не приводит к заметным искажениям спектров, в то время как для непериодических сигналов это не так. Например, для белого шума применение весовой функции Ганна приведет к возрастанию спектра мощности в 1,5 раза или к ошибке 1,8 дБ, т. е. эквивалентная ширина полосы шума изменится от до .

Верно и обратное: если анализатор, в котором коррекция временного окна выполнена этим методом, калибруется с помощью

белого шума, то при измерении синусоидального сигнала спектр будет сдвинут в сторону меньших частот на 33%. На практике анализаторы обычно калибруются так, чтобы давать правильные результаты при обработке периодических сигналов. Для работы с непериодическими сигналами необходимо использовать другие типы калибровки.

Наблюдается еще один эффект, искажающий амплитуды спектральных линий и также связанный с влиянием временного окна.

Рис. 19.10

Он заключается в том, что если непрерывно перемещать частоту синусоидального сигнала по спектральному диапазону анализатора, то получится волнообразное изменение амплитуды (рис. 19.10). Если фурье-анализатор представить в виде совокупности элементарных фильтров с примыкающими друг к другу спектральными характеристиками, то максимальная амплитуда достигается при расположении частоты синусоидального сигнала точно в центре полос пропускания фильтров. По мере удаления от центра амплитуда спектральной линии уменьшается; при высоком разрешении это уменьшение может составить

1,4 дБ. Если разрешение анализатора ухудшить в 2 раза, эффект изменения амплитуд уменьшится и составит 0,35 дБ.

Причина этого явления заключается в том, что длительность временного окна не составляет в точности целое число периодов входного сигнала. Рассмотрим, например, анализатор с длительностью окна 0,4 с, который может обрабатывать сигналы с шириной спектра и разрешением 2,5 Гц (табл. 19.3). Если с его помощью происходит измерение трех синусоидальных сигналов равных амплитуд с частотами Гц, Гц и Гц, то амплитуды первых двух спектральных линий, соответствующих 200 и 201 периодам на длительности временного окна, будут отличаться от амплитуды в третьем случае, равной 200,5 периода.

Вывод на электронно-лучевую трубку. После преобразования в аналоговую форму спектр может быть выведен на экран электронно-лучевой трубки. Выходное напряжение обычно сглаживается для того, чтобы на экране получалось непрерывное

Таблица 19.3 (см. скан)

изображение. Развертка по оси частот осуществляется пилообразным напряжением, величина которого пропорциональна частоте т.

Большая часть современных анализаторов предназначена для вычисления и представления спектра мощности, из которого с помощью дополнительных вычислений получают спектр модуля напряжений (или амплитудный спектр). В технике анализа сигналов часто получают спектры эффективных значений напряжений (или токов). Более того, синусоидальные компоненты сигнала могут представлять самые различные физические параметры (не только электрические сигналы, но также механические перемещения, колебания давления, уровня жидкости и температуры и т. п.), поэтому равным образом можно говорить об эффективных значениях самих физических величин.

Рассмотрим пример случайного сигнала электрического напряжения с эффективным значением амплитуды . Если оно приложено к резистору сопротивлением то энергия, рассеиваемая на этом сопротивлении в единицу времени, будет пропорциональна квадрату эффективного значения амплитуды:

Таким образом, если мы изобразим спектр этой временнбй функции, взяв за единицу измерения вместо вольта, то получим спектр мощности (или квадратичный спектр) этой функции (при условии, естественно, что величина соптротивления

не зависит от частоты). Если сопротивление резистора выбрать равным 1 Ом, то будет справедливо равенство для других значений сопротивления надо изменить масштаб.

То же справедливо для физических неэлектрических величин, преобразованных в электрическое напряжение. Например, если линейный амплитудный спектр отградуирован в единицах ускорения как это часто бывает при изучении вибраций в механике, то соответствующий спектр мощности будет отградуирован в единицах

Масштаб в децибел-вольтах служит для представления измерений по отношению к ; кроме того, возможна градуировка в децибелах других физических величин (дБ Таким образом, результаты измерений можно представить в В; и иногда в с/Гц (спектральная плотность энергии нестационарных процессов).

На экране электронно-лучевой трубки высвечиваются также в буквенно-цифровом виде основные параметры анализа: единицы измерения, спектральный диапазон, чувствительность и т. д. Кроме того, светящаяся метка позволяет проверять отдельные точки спектра и высвечивать значения амплитуды и частоты. Предусматривается также возможность измерения амплитуд и частот отдельных гармоник (частота при этом определяется с погрешностью Если необходимо отобразить часть спектра с повышенным разрешением, то используется увеличение масштаба частоты, которое в анализаторах, основанных на методе БПФ, выполняется в цифровом виде. Основной особенностью этой операции является то, что начальной частотой анализа является не нулевая, а наперед заданная частота (разд. 12.7), при этом масштаб частоты может изменяться от 8 до 128 раз. Предположим, например, что измеряется спектр сигнала, представляющий собой две линии в области на расстоянии 100 Гц друг от друга. Спектр такого сигнала, измеренный анализатором в диапазоне даст один неразрешенный пик, так как разрешение в данном случае составляет 250 Гц (100 000/400). Расширение же спектра, осуществленное в той его части, которая содержит оба пика, с коэффициентом 128 обеспечивает разрешение 250/1282 Гц, что позволяет четко выделить оба пика.

Типичные характеристики. Типичными характеристиками анализаторов рассматриваемого типа, предназначенных для анализа низкочастотных сигналов, являются следующие:

Замечание к понятию «реальное время». В строгом смысле слова говорить о том, что анализатор работает в реальном времени, можно только тогда, когда не происходит потери входной информации, т. е. скорость поступления данных на анализ не превышает скорости их обработки. Тем не менее существует не совсем оправданная традиция применять этот термин и в том случае, когда спектральный диапазон анализа слишком велик и некоторая часть входных данных теряется.

Обозначим через полное время обработки одной выборки данных, включая накопление, арифметические операции, вывод информации на внешние устройства и т. д. Для работы анализатора в реальном времени необходимо, чтобы длительность временного окна превышала . Отсюда следует, что спектральный диапазон исследуемого сигнала должен быть ограничен (табл. 19.3). Максимальная частота в спектре входного сигнала не должна превышать Примем длительность обработки и число точек спектра тогда полоса частот реального времени составит Гц. В диапазоне анализатор сможет принять только 50% входных данных, в диапазоне в диапазоне — только 2,5%.