25.6. Метод Писаренко
Основы метода.
Рассмотрим снова выражение (25.1):
Положим 
Отсюда 
или 
Тогда выражение (25.1) можно записать
где 
обозначает интеграл вдоль единичной окружности в комплексной плоскости. Если обозначить
и подставить в выражение (25.15), то получим
Рис. 25.2.
Рис. 25.3.
Итак, 
является 
-преобразованием от 
Следовательно,
где 
— комплексное усиление авторегрессионного фильтра (напомним, что сопряженное значение от 
есть 
Каждый полюс функции 
соответствует комплексной спадающей экспоненте для функции 
(рис. 25.2):
Писаренко [5] показал, что справедливо выражение
при условии
Таким образом, важный результат, полученный Писаренко, заключается в следующем: любая дискретизованная автокорреляционная функция, известная в 
точках 
может быть интерпретирована как автокорреляционная функция суммы белого шума и 
частот сигнала.
Исследование чистых частот по методу Писаренко.
Рассмотрим фильтр (рис. 25.3) длиной 
рассчитанный на чистые
частоты (трансверсальный фильтр):
Через 
обозначена матрица-строка коэффициентов дискретизованной функции отклика 
фильтра
и через 
матрица-столбец
Мощность сигнала у равна
Обозначим через минимальное собственное значение матрицы 
тогда
где 
— собственный вектор 
соответствующий 
Фильтр, для которого 
отсекает все чистые частоты и пропускает белый шум. Таким образом, мощность белого шума равна минимальному собственному значению матрицы 
Векторы чистых частот, определяемые выражениями
удовлетворяют условию
Отсюда следует алгебраическое уравнение для определения
