15.3. Теория синхронного детектирования

Модуляция. Синхронная демодуляция.

Пусть — сигнал, занимающий спектральный интервал вокруг нулевой частоты: обычно мало, а сигнал является низкочастотным. Последний сопровождается шумом, занимающим большую частотную полосу, т. е. спектр сигнала находится внутри спектра шума поэтому выделить простой фильтрацией невозможно.

Пусть — суммарный сигнал. Промодулируем (умножим) сигналом синусоидальный сигнал с несущей частотой После модуляции сигнал будет занимать полосу частот (и симметричную полосу для отрицательных частот). Ниже мы будем рассматривать только положительные частоты, так как если — вещественное число, его преобразование Фурье имеет модуль, представляющий собой четную функцию частоты, и фазу, представляющую собой нечетную функцию (эрмитово сопряжение).

После модуляции сигнал принимает форму где существенно превышает (в 50—100 раз). Поэтому функцию можно считать чистой синусоидой, т. е. в первом приближении принимается за константу. Если отделить друг от друга сигналы задача будет решена. Это достигается получением корреляционной функции и синусоидального сигнала с частотой . Но нас интересует не восстановление сигнала , а сигнал Для этого достаточно демодулировать т. е. умножить на сигнал той же частоты и вычислить среднее значение этого произведения:

или

Первый интеграл равен мы получили не а среднее значение Остальные три интеграла стремятся к нулю при . Таким образом, если организовать описанную выше процедуру измерения так, чтобы получим

при условии, что Т достаточно велико (см. разд. 12.1). Если константа, то получаем величину

Синхронное детектирование.

Основы метода. Этот метод представляет собой техническое упрощение синхронной демодуляции. Вместо умножения на первую величину умножают на сигнал прямоугольной формы с частотой, кратной (рис. 15.2), который мы называем

Рис. 15.2. Метод модуляции дрейфа.

Схема при этом существенно упрощается, так как вместо умножения на умножают на функцию, которая принимает лишь два значения или и дело сводится к сложению или вычитанию. Синхронный детектор подобен, таким образом, «двойному инвертору», управляемому задающим генератором с частотой

Рассмотрим умножение на Так как

то синхронный детектор действует как набор синхронных демодуляторов с коэффициентом усиления — и с несущей частотой

Предположим теперь, что сигнал не обязательно постоянен, а может изменяться (медленно с течением времени). Тогда он занимает спектральную полосу в окрестностях нуля частот, а после умножения на будет занимать полосу (частоты предполагаются только положительными).

Синхронный демодулятор, соответствующий основной частоте функции будет выделять в полосе компоненту, относящуюся к Действительно, поскольку интегрирование никогда не производится по бесконечному интервалу, демодулятор выделит не только частоту но и частоты, лежащие

в полосе зависящей от длины интервала интегрирования Т.

Демодулятор, соответствующий гармонике мог бы выделять частоты но так как превышает то не содержит частоты и все происходит, как обычно в детекторе. Однако более благоразумно применять фильтр (или избирательный усилитель), настроенный на полосу частот, близкую к Действительно, тот факт, что во время модуляции происходит умножение шума на функцию приводит к преобразованию частотного спектра шума. Если шум занимал полосу В, то для нового спектра шума

Если В достаточно велико для того, чтобы превышала демодулятор на будет воздействовать на шум, хота теоретически Для конечного интервала интегрирования этот интеграл может и не быть равным нулю (ошибка оценки), что приводит к появлению ошибки. Для уменьшения этой ошибки перед синхронным детектором располагают промежуточный фильтр или избирательный усилитель, такой, чтобы энергия отфильтрованного шума, приходящаяся на частоту и выше, была пренебрежимо мала.

Эти результаты легко получаются при . Если же интервал Т имеет конечную длительность, то нужно вычислить отношение сигнал/шум после синхронного детектирования.

Усиление (или чувствительность), вносимое синхронным детектором в зависимости от отношения сигнал/шум.

Пусть а — амплитуда изучаемого сигнала (по предположению константа) и — мощность шума, имеющего постоянную спектральную плотность в интервале Отношение сигнал/шум до обработки сигнала равно

Пусть — эквивалентная полоса пропускания избирательного усилителя, тогда отношение сигнал/шум на его выходе, или что то же самое, на входе синхронного детектора, равно

Теперь дадим трактовку сигнала, занимающего полосу Пусть Т — интервал интегрирования, тогда, как следует из предыдущего (выражение (12.43)), отношение сигнал/шум на выходе синхронного детектора равно

Видно, что усиление является функцией частотной полосы шума, наложенного на сигнал а, и интервала интегрирования Т, но не полосы избирательного фильтра. Если, как это чаще бывает, используется промежуточный низкочастотный фильтр с постоянной х вместо интегратора, получаем усиление по мощности (разд. 9.7) и возрастание отношения сигнал/шум составляет так как Т заменяется на что дает усиление эффективного значения, равное

Примечание. Не следует увеличивать В для улучшения ситуации. С возрастанием В растет и С, в то время как уменьшается. Напомним, что отношение сигнал/шум на выходе равно

Если предположить, что шум обладает постоянной спектральной плотностью где Р — плотность мощности шума, можно написать

Это отношение зависит не от спектральной полосы шума В, а от плотности мощности Р. Отсюда следует, что нельзя надеяться получить сколько угодно большое усиление, так как для этого потребовалось бы увеличить Т и оно стало бы слишком большим, чтобы можно было считать сигнал постоянным, равным а на всем интервале Т.

Влияние длительности интегрирования на выходной сигнал. Предположим, что сигнал определен только в интервале Тогда можно разложить в ряд Фурье

где .

После модуляции будем иметь

и после синхронного детектирования (включающего синхронную демодуляцию)

Первый интеграл записывается в виде

или после интегрирования

Итак, если велико, то членом можно пренебречь по сравнению с 1. Если ошибка не превышает .

Второй интеграл можно записать в виде

Вторым из этих интегралов пренебрегаем на том же основании, которое упоминалось выше. Остается интеграл

который равен

или

Действительно, так как полоса, занимаемая сигналом, ограничена интервалом изменяется от до для наибольшей частоты сигнала Пусть Тогда

Для простоты положим и предыдущее выражение в виде -

Если требуется, чтобы сигнал не искажался и чтобы .амплитуда самой высокой частоты сигнала равной сохранялась с заданной точностью, необходимо поддерживать величину малой (в случае низкочастотного фильтра с постоянной Т заменяется на Для получения погрешности, не превышающей 1%, требуется выполнить условие

Для погрешности, не превышающей 5, 10, 20 и 30%, необходимо, чтобы равнялось соответственно

Компромисс между чувствительностью и точностью. Таким образом, имеются два взаимоисключающих требования:

• Т должно быть максимально большим для улучшения отношения сигнал/шум:

(или в случае низкочастотного фильтра);

• Т (или ) не должно быть слишком большим, так как условие восстановления без искажений есть что в итоге приводит к соотношению между коэффициентом улучшения отношения сигнал/шум и точностью воспроизведения