23.3. Частотная корреляция. Частотный сдвиг

Вместо временного представления сигнала рассмотрим его частотное представление Предположим, что функция смещена по частоте. Это приведет к сигналу . Такое частотное смещение на первый взгляд не имеет физического смысла, однако оно используется довольно часто.

Рассмотрим сигнал, называемый «узкополосным», т. е. сигнал, спектральная ширина которого мала по сравнению со средней или центральной частотой Если смещение примерно равно то это приводит к гетеродинному или частотному преобразованию, которое трансформирует сигнал со спектральной областью в сигнал с полосой частот где Если смещение мало по сравнению с то имеет место эффект Доплера — Физо, который проявляется, когда источник излучения имеет радиальную составляющую скорости (т. е. составляющую вдоль направления распространения электромагнитного пучка).

Отметим, что, строго говоря, эффект Доплера является эффектом сокращения (или растяжения) масштаба времени, но в случае узкополосных сигналов это изменение временного

масштаба подобно некоторому частотному сдвигу (например, изменению высоты тона сигнала тепловоза)

Рассмотрим среднеквадратичное отклонение между сигналами

Два первых слагаемых последнего выражения представляют собой энергии сигналов. Полагая

получим

Функция является частотным аналогом функции Мы ее назовем функцией частотной корреляции. Эта функция применяется пока редко, так как квазиполная совокупность сигналов, которой пользуются экспериментаторы, имеет временное представление. Но нет никакой причины отдавать предпочтение временной форме, так как при обработке сигналов нужно помнить, что частотное представление сигнала может быть известно так же хорошо, как его временная форма

Функция частотной корреляции имеет свойства, аналогичные свойствам функции временной корреляции:

т. е. она максимальна при нулевом частотном сдвиге.

Так же, как и для функции

и можно написать

Это не должно удивлять, так как оператор преобразования Фурье, который позволяет перейти от одного представления к другому, содержит скалярное произведение, т. е. норму.

Если рассматриваются вопросы, связанные с энергией, мощностью, а следовательно, и со скалярным произведением, всегда будем иметь два аспекта одной и той же реальности в зависимости от того, какое представление рассматривают — временное или частотное. Когда записывают выражение которое представляет энергию сигнала, нет необходимости уточнять, о каком представлении идет речь:

Напомним также, что оба представления взаимосвязаны и модификация одного из них приводит к изменению другого.

В частности, некоторый временной сдвиг эквивалентен частотному фазовому сдвигу

а частотный сдвиг эквивалентен временному фазовому сдвигу

Обозначив буквой Т оператор трансляции для временной трансляции величины для частотной трансляции величины будем иметь