24.3. Частотно-временная зависимость. Соотношение неопределенностей. Частотно-временное представление Габора

Напомним, что понятие частоты вводится с помощью непрерывной синусоидальной волны

Чтобы измерить частоту необходимо иметь в распоряжении множество периодов То, которые определяются, например, по пересечениям функции с осью (рис. 24.3). Следовательно, частота является параметром, не локализованным во времени; ее нельзя определить по единственному измерению в момент

Рис. 24.3.

Таким образом, чтобы проследить модуляцию частоты, не обходимо проследить временную зависимость параметра, не локализованного во времени.

Напомним теперь соотношения Габора, касающиеся временного и частотного интервалов для сигнала с конечной энергией и преобразованием Фурье (рис. 24.4). Приняв для энергетическое определение, подобно тому, как это делается в механике, будем иметь

Можно показать, что существует неравенство

Рис. 24.4.

Соотношение (24.3) выражает хорошо известный специалистам по электронике факт: каждому сигналу х с заданной длительностью Т соответствует некоторая минимальная спектральная полоса; заданной полосе пропускания фильтра В соответствует некоторое минимальное время нарастания сигнала или Неравенство (24.3) является аналогом соотношения неопределенностей в квантовой механике. Использованный формализм может быть и одинаковым (формализм Дирака, примененный Бонне и Гарампон [2]), но проводить полную аналогию не рекомендуется, как это показал Р. М. Лернер [3].

Рис. 24.5. (см. скан)

Сигнал который минимизирует выражение Габора [выражение (24.3)], имеет форму гауссова сигнала

для которого . В этом нет ничего удивительного, так как для гауссова сигнала при заданной длительности требуется минимальная спектральная полоса, чтобы передать его без искажения.

Преобразование Фурье функции имеет вид

Используя это выражение, Габор попытался разложить любой сигнал по гауссовым функциям модулирующим синусоиды с частотой в моменты времени (рис. 24.5). Такое разложение оказалось неудобным для использования. Вычисление коэффициентов усложняется тем, что функции не являются ортогональными:

Хелстром [4], Монтгомери и Рид [5] показали, что функции не должны быть обязательно гауссовыми; достаточно, чтобы они имели свойства, аналогичные свойствам импульсных откликов фильтра. Кроме того, было получено непрерывное представление и показано, что является взаимной функцией неопределенности х и Непрерывная функция записывается в виде Практически, если является откликом фильтра, то можно получить либо разложение по либо функцию Эту операцию реализует прибор, называемый сонографом. Фактически он измеряет или При этом полностью теряется информация о фазе. Это происходит также в большинстве приборов, названных вокодерами и используемых для анализа и распознавания речи.

Примечание. Вокодер — это прибор, предназначенный для передачи речевых сообщений и посылающий значительно меньше информации, чем требовалось бы при прямой передаче сообщения. Его принцип действия заключается в следующем: определяются и передаются характерные параметры речевого сообщения. По этим параметрам на приемном конце методом синтеза восстанавливается сообщение, которое сохраняет только смысл переданного сообщения.