24.4. Представление [t, v] по Бонне. Мгновенный спектр мощности по Биллю. Функция неопределенности

При использовании разложения в ряд Габора интересуются коэффициентами позволяющими представить с помощью элементарных сигналов Многими авторами был рассмотрен другой подход. Он заключается в определении распределения энергии (или мощности) в плоскости Рассмотрим результаты работы Билля [6], которая была настолько плодотворной, что позволила впоследствии Вудворду дать определение функции неопределенности [7]. Билль попытался ввести понятие мгновенной частоты, которое, несмотря на явное противоречие терминов, имеет достаточно глубокий физический смысл, как это показали Блан-Лапьер и Пинчинбоно [8]. Билль использовал понятие, введенное Ван дер Полем [9]:

и записал в виде (разд. 2.10, т. 1)

Затем он связал с данным понятием частоты оператор действующий на и нашел выражение для

мгновенного спектра которое должно представлять плотность вероятности, связанную с энергетическим распределением в плоскости

Функция представлена на рис. 24.6. Затем Билль рассчитал характеристическую функцию (разд. 8.6), которая является преобразованием Фурье для

и показал, что она представляет собой функцию неопределенности (гл. 23). Билль использовал понятие аналитического сигнала (гл. 23), имеющее особый интерес в случае узкополосных сигналов.

Рис. 24.6.

В 1967 г. Бонне и Гарампон показали, что результат Билля может быть получен более коротким способом, если для гармонического анализа сигналов использовать язык или формализм Дирака, применяемый в квантовой механике [2,

10]. Используя понятие «среднего значения» оператора, введенного Виллем, а также неравенство Глаубера — Жордана,

Бонне и Гарампон [2] рассчитали характеристическую функцию связанную с распределением

Для вещественного сигнала (практический случай) можно ввести обобщенную функцию неопределенности, определенную в гл. 23:

Выполнив преобразование по двум переменным получим

Отметим, что величина не является всегда положительной, хотя Билль ее определил как плотность вероятности. В действительности определяет бесконечно малую разность энергий для двух близких точек на плоскости «время — частота». Величина представляет собой мощность; в данном случае представляет интерес ее изменение при переходе из одной области в другую, поэтому знак этой величины несуществен.

Итак, мы получили функцию или ее преобразование ?Фурье. По энергии, локализованной в точках плоскости эти функции позволяют описать модуляцию частоты или фазы. Так, в случае сигнала с линейно-модулированной частотой направление основного гребня поверхности функции неопределенности определяет наклон кривой модуляции в плоскости