24.5. Другие определения частотно-временного представления

Определение по Рихачеку.

Приведем вкратце результаты Рихачека [12], используя применяемые на практике вещественные сигналы. Имея выражение взаимно-корреляционной функции двух сигналов [выражение (11.37)]:

введем определение .энергии взаимодействия х и у с помощью соотношения

Рассмотрим теперь как сигнал на выходе фильтра с полосой пропускания вблизи частоты — сигнал на входе). Тогда

Величина представляющая собой энергию взаимодействия сигнала и его отклика на выходе фильтра в интервале и полосе отражает модуляцию частоты и фазы сигнала

Рихачек [12] показал, что в пределе можно получить функцию которая представляет собой плотность энергии в плоскости

Следовательно, согласно выражению (23.20),

и

Таким образом, функция позволяет определить представление в плоскости «время — частота».

Новая функция представляет интерес для изучения широкополосных или сильно модулированных сигналов типа

где — действительная функция (рис. 24.7). Если произведение ВТ (В — спектральная полоса, Т — длительность сигнала) велико по сравнению с 1, величина сосредоточена вблизи

некоторой кривой в плоскости представляющей закон модуляции сигнала

Сосредоточение в плоскости осуществляется вблизи точек (рис. 24.8):

где — мгновенная частота и — групповое запаздывание.

Рис. 24.7.

Рис. 24.8.

Найдем теперь степень концентрации величины вблизи данной кривой. С этой целью вычислим отклонение линейной зависимости фазы от времени от реально наблюдаемой зависимости:

Если отклонение оценивать в точках вблизи то получим

Величину называют временем релаксации. Аналогично для определяют динамическую полосу

Произведение

Последнее выражение находится в согласии с соотношением неопределенностей в плоскости Учитывая, что -динамическая полоса (связанная с наклоном кривой модуляции), а время релаксации, в плоскости можно изобразить ячейки Рассмотренный случай представляет собой гиперболическую модуляцию частоты (рис. 24.9), где -некоторая огибающая, определенная на отрезке фаза, модулированная по времени.

Рис. 24.9.

Определение по Пейджу [15].

Пейдж определил представление в плоскости рассматривая сигнал в интервале времени Он обнаружил, что с точки зрения акустики именно короткий временной отрезок передает информацию такому приемнику, как наше ухо. Чтобы определить Пейдж использовал оператор сечения для момента где

Отсюда

Величина является мгновенной автокорреляционной функцией, определенной Фано [14]. Имеем

Функцию можно представить в следующем виде:

Двумерное преобразование Фурье функции можно представить с помощью функции неопределенности сигнала в виде

Итак, несмотря на множество определений, можно выделить один существенный момент: энергетическое представление в плоскости «время — частота» связано с функцией неопределенности с помощью преобразования Фурье. Существуют также другие определения, в основе которых лежит определение Пейджа и которые используют понятие оператора сечения [8].

Итак, если назвать фазой или аргументом косинуса и если по аналогии с классическим случаем постоянной частоты положить

где - мгновенная частота», то

В случае сигнала типа

величину можно определить либо так, как это указано выше, либо по точкам пересечения 4 функции с осью времени:

Для синусоидального сигнала два определения функции не соответствуют друг другу [8]. Это показывает их относительный характер, обусловленный сопряженностью параметров и связанных соотношением неопределенностей. Однако независимо от определения физический смысл функции состоит в том, что последняя отражает спектральный и временной вклады в процесс на отрезке в полосе Показано, что в случае сигнала с модулированной частотой или фазой при можно проследить изменение со временем.

Отметим, что были также введены другие понятия, которые связаны с функцией неопределенности. Эта функция дает возможность выразить квадратичное отклонение между (с точностью до если х — вещественный сигнал. С ее помощью можно получить закон модуляции частоты через параметры в более удобной форме, чем с помощью функции зависящей лишь от одного параметра . Бонне и Гарампон определили понятия мгновенного спектра и частотно-временного представления с помощью мощного

формализма и получили простые соотношения с функцией неопределенности без каких бы то ни было предположений о спектральной природе сигнала Кроме того, функция неопределенности дает нам метод представления модуляций фазы к частоты сигнала по оценкам характеристик отфильтрованного сигнала. Этим объясняется возрастающее значение функции неопределенности в анализе и синтезе сигналов.