2.1.6. Преобразование Меллина
Преобразование Меллина определяется в виде [24]
где 
комплексная переменная; и если для некоторого 
то функция
является обратным преобразованием Меллина для любого 
Для двумерного случая преобразование Меллина определяется аналогично; мы имеем следующее выражение:
где 
мнимые аргументы.
Преобразование Меллина используется в анализе линейных оптических систем, не являющихся пространственно-инвариантными [22], и при восстановлении изображений после неоднородного смаза [231, поскольку модуль этого преобразования некоторой функции инвариантен по отношению к изменению масштаба данной функции [31; точно так же фурье-образ некоторой функции инвариантен относительно ее сдвига. В обоих случаях в преобразование вводится постепенное линейное изменение фазы, или фазовый наклон.
Следует заметить, что изменение переменной по логарифмическому закону представляет собой преобразование линейного изменения
масштаба в сдвиг оригинала. Используя замену 
можно показать, что преобразование Меллина функции 
эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа функции от 
гл. 12]. В случае чисто мнимого 
аналогичное соотношение имеет место между преобразованиями Меллина и Фурье.
В оптике широко используется инвариантность преобразования Меллина по отношению к изменению масштаба. Применяя это преобразование к оптическим системам, функция рассеяния которых не изменяет своей формы, но меняется соответствующим образом лишь ее величина, мы получаем систему, которую можно проанализировать с помощью линейного метода, инвариантного к сдвигу. Совместное использование преобразований Фурье и Меллина позволяет создать оптические корреляторы, нечувствительные не только к сдвигам, но также и к изменениям масштаба между объектным и опорным сигналами [9].
2.1.6.1. Некоторые теоремы преобразования Меллина
Для данной пары 
можноо записать следующие пары преобразования Меллина:
Кроме того,
В более общем случае, если 
преобразование Меллина функции 
то
Определяя свертку Меллина как
получаем, что 
преобразуется в 
2.1.6.2. Некоторые пары преобразования Меллина
Другие пары преобразования Меллина см. в книге Брэйсуэлла 15]. Преобразование Меллина довольно подробно рассмотрено Снеддоном [24].
