2.1.3. Преобразование Фурье — Бесселя

Преобразование Фурье — Бесселя проистекает из рассмотрения двумерного преобразования Фурье применительно к функциям, обладающим круговой симметрией. Этот вид симметрии характерен для большинства оптических систем и большого числа оптических сигналов. Можно показать [14, гл. 7], что образы двумерных распределений, являющихся функцией только радиуса имеют также круговую симметрию (и, следовательно, представляют собой функции только радиальной частоты и что функцию можно получить из ее образа и наоборот, применяя одно и то же симметричное одномерное преобразование. Эта операция называется преобразованием Фурье — Бесселя и определяется следующим образом:

Соответствующее обратное преобразование записывается в виде

Здесь — функция Бесселя первого рода нулевого порядка [19].

Преобразование Фурье — Бесселя известно также как преобразование Ганкеля нулевого порядка и часто называется просто преобразованием Ганкеля. Полное семейство таких преобразований можно получить, подставляя в качестве ядра функции Бесселя порядка где не обязательно целочисленно. Преобразование Фурье двумерных радиально-симметричных функций с гармонической угловой зависимостью [т. е. имеющей специальный вид можно свести к преобразованиям Ганкеля высших целочисленных порядков, в то время как преобразования радиальных функций более чем двух переменных можно описать различными преобразованиями Ганкеля полуцелочисленного порядка [24, гл. 2].

2.1.3.1. Теоремы относительно преобразования Фурье — Бесселя

Из пары преобразования Фурье — Бесселя можно получить следующие пары:

Кроме того, справедливы следующие соотношения:

2.1.3.2. Некоторые пары преобразования Фурье — Бесселя

Некоторые сведения по преобразованию Фурье — Бесселя можно найти в работах Титчмарша [25], Снеддона [241 и Брэйсуэлла [5]. Функции Бесселя рассматриваются в книге Мак-Лахлана [19].