2.1.2. Преобразование Лапласа

Для полноты изложения рассмотрим также преобразование Лапласа, хотя в оптике его непосредственно не используют. Это преобразование определяется обобщенным экспоненциальным ядром и представляет собой распространение принципа преобразования Фурье на функции, для которых не существует фурье-образов. Если для функции интеграл

не является ограниченным, но

ограничен (для некоторого вещественного числа , то (двустороннее) преобразование Лапласа по отношению к комплексной переменной запишется в виде [8]

причем Обратное преобразование дается формулой

где .

Приравнивая в выражении (13) нижний предел интегрирования нулю, получаем одностороннее преобразование Лапласа. Можно видеть, что одностороннее преобразование Лапласа и преобразование Фурье — это частные случаи двустороннего преобразования Лапласа. При мнимом имеет место преобразование Фурье, в то время как, вообще говоря, преобразование Лапласа функции эквивалентно преобразованию Фурье функции где — вещественная часть величины

Преобразование Лапласа можно определить для функций двух или большего числа переменных аналогично преобразованию Фурье 124, гл. 1].

2.1.2.1. Некоторые свойства преобразования Лапласа

Свойства преобразования Лапласа в общем случае очень похожи на свойства преобразования Фурье; поэтому здесь мы дадим лишь их краткую сводку. Если и пара преобразования Лапласа, то справедливы следующие соотношения:

2.1.2.2. Некоторые пары преобразования Лапласа

Функция равна при Для этой функции мы имеем следующие соотношения:

Таблицы преобразований Лапласа, а также подробное обсуждение преобразований приводятся ван дер Полем и Бреммером [26] и Брэйсуэллом [5].