2.1.7. Преобразование Абеля
Для двумерных систем с вращательной симметрией мы показали (см. разд. 2.1.3), что их можно описать с помощью одномерного преобразования Фурье — Бесселя. Существует и второй способ описания этих систем, а именно путем рассмотрения их отклика на одномерный входной сигнал, например в виде прямой линии или пичка. Можно показать [16], что в таких системах одномерная точечная функция рассеяния 
(зависящая только от радиуса 
) связана с линейной функцией рассеяния 
(зависящей от координаты х) преобразованием Абеля, определяемым как
Обратное преобразование Абеля дается выражением
Изменением переменной уравнение преобразования Абеля можно свести к интегралу свертки [5, гл. 12]. В этом виде преобразование Абеля называется модифицированным; в силу своей пространственной инвариантности оно позволяет при анализе использовать методы Фурье, а также весьма удобно для вычислительных целей.
Из соотношения между точечной и линейной функциями рассеяния можно показать, что преобразования Фурье — Бесселя и Абеля тесно связаны. Фактически имеется тесная связь между преобразованиями Абеля, Фурье — Бесселя и Фурье. Последовательное применение этих преобразований к некоторой функции дает исходную функцию [4]. В оптике этот результат отразился в соотношениях между точечной и линейной функциями рассеяния (преобразование Абеля), между линейной функцией рассеяния и (одномерной)
передаточной функцией (преобразование Фурье) и между оптической передаточной функцией и точечной функцией рассеяния (преобразование Фурье — Бесселя) [16].
Прямое и обратное преобразования Абеля являются частным решением общей задачи восстановления многомерного объекта по известным проекциям. Для произвольного объекта обратная операция называется (обратным) преобразованием Радона. Алгоритмы осуществления этой операции представляют общий интерес в связи с их применением к синтезу томографического изображения [21.
2.1.7.1. Некоторые пары преобразования Абеля
2.1.7.2. Литература по теории преобразования Абеля
Большое число пар преобразования Абеля приведено Брэйсуэллом [5]; интеграл Абеля теоретически рассматривается Уиттекером и Ватсоном [271. Соотношение между линейной и точечной функциями рассеяния исследовано Марчандом как для симметричного [17], так и для общего случаев [18].
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
