2.1.5. Преобразование Гильберта
Пара уравнений
и
определяет соответственно прямое и обратное преобразования Гильберта 125]. В отличие от других функций и их преобразований, которые определяются в сопряженных областях, здесь 
являются функциями от 
Между 
существует несимметрично-обратное соотношение (обратное, если исключить знак минус); говорят, что
сопряжена с 
сопряжена 
Функцию 
иногда называют функцией квадратуры, соответствующей 
Очевидно, что прямое и обратное преобразования Гильберта представляют собой операции свертки соответственно с 
Это приводит к особенно простому соотношению между 
в пространстве координат преобразования Фурье. Если фурье-образами этих функций являются 
и 
то 
связана с 
соотношением
где функция 
принимает значения 1 при 
и —1 при 
Преобразование Гильберта представляет собой полезную аналитическую операцию, которая связывает любую вещественную функцию 
с комплексной функцией 
Можно показать, что спектр этой последней функции является односторонним фурье-спектром (нулем при 
а во всем остальном тождествен спектру функции 
во многом также связаны между собой функции 
Таким образом, с помощью преобразования Гильберта принцип фазорного анализа обобщается и на немонохроматические сигналы.
Это преобразование играет также важную роль при описании спектров временных сетей и фильтров, которые должны иметь однозначные импульсные характеристики. Поскольку на импульсные характеристики оптических систем не накладывается ограничений, в оптических исследованиях такой метод, к сожалению, не нашел себе применения. Тем не менее, используя преобразование Гильберта, можно изучать некоторые оптические методы, например шлирен-метод воспроизведения фазовых объектов путем введения теневого ножа для вырезания части оптического спектра [13].
2.1.5.1. Соотношения в случае преобразования Гильберта
Если преобразование Гильберта связывает функции 
то оно связывает также следующие пары: 
Преобразованием Гильберта свертки 
являются также 
Кроме того, справедливы следующие соотношения:
2.1.5.2. Некоторые пары преобразования Гильберта
Другие пары преобразования Гильберта можно найти в работе Брэйсуэлла [5], в которой также подробно рассматривается само преобразование. В работе Титчмарша [25, гл. 5] имеется больше математических подробностей.
