2.4.6. Голографические аберрации

В гл. 7 будет показано, что если в качестве опорной используется одна и та же плоская волна как для записи голограммы, так и для восстановления голографического изображения, то воспроизводится точный исходный волновой фронт и изображение оказывается свободным от каких-либо аберраций. Однако если при восстановлении изображения намеренно (например, для обеспечения увеличения) или ненамеренно изменяют либо длину волны, либо геометрию опорного пучка, то возникнут аберрации. Формулы для вычисления увеличения были получены в параксиальном приближении. При этом, за исключением искажения трехмерного изображения, обусловленного различием в значениях продольного и поперечного увеличений, в восстановленном изображении не должно возникать каких-либо иных аберраций. Однако, используя более точные формулы, можно показать, что аберрации возникают всякий раз, когда восстанавливающий пучок отличается от опорного, применявшегося при регистрации голограммы. Эти аберрации можно классифицировать по тем же признакам, что и в обычных системах формирования изображения, а именно: сферическая аберрация, кома, кривизна поля, астигматизм и дисторсия [10, 9, 4, 6, 1].

Рассмотрим случай, в котором при регистрации голограммы используется в качестве опорной плоская волна, а при восстановлении — сферическая волна, как показано на рис. 8. При этом световое поле в плоскости изображения двумерного объекта можно записать в виде

где С — комплексная постоянная, функция амплитудного пропускания двумерного объекта, длина волны при записи голограммы), длина волны при восстановлении изображения), обозначают интегрирование по поверхности объекта и поверхности голограммы соответственно.

Рис. 8. Схема записи и восстановления волнового фронта. О — объект, Н - голограмма, I — изображение; Плоская опорная волна, падающая под углом используется при записи голограммы, а расходящийся волновой фронт, падающий под углом применяется при восстановлении изображения.

Очевидно, что здесь интеграл по первой поверхности описывает регистрируемый волновой фронт, второй экспоненциальный член — освещение голограммы, а последний — дифракцию от голограммы.

Обращаясь к рис. 8, расстояния можно записать в виде

и

Применяя биномиальное разложение, эти выражения можно преобразовать к виду

Сохраняя здесь только два первых члена, мы получаем параксиальное приближение, и уравнение (49) в явном виде запишется следующим образом:

здесь произвольная комплексная постоянная. Сохраняя в выражениях (52) и (53) первые три члена, можно вычислить аберрации третьего порядка. Вклад четвертого члена и членов более высоких порядков столь незначителен, что им можно пренебречь. Следует подчеркнуть, что в процессах регистрации голограммы и восстановления изображения аберрации волнового фронта зависят от аргумента экспоненты, содержащего и В параксиальном приближении квадратичный экспоненциальный множитель с исчезает, если воспользоваться уравнением линзы

по аналогии со случаем, рассмотренным нами для обычных систем формирования изображения. Однако в непараксиальном случае для устранения экспоненциальных членов высокого порядка недостаточно наложить условие в виде уравнения (55). Эти неисчезающие члены в экспоненте приводят к аберрациям в голографических изображениях. Для того чтобы исследовать эти аберрации, начнем с вычисления фазового множителя в процессе запись — восстановление. После длинных, но несложных вычислений можно получить следующее выражение для

где Сравнивая это выражение с общим выражением, описывающим аберрации линзы 121, мы видим, что первый член соответствует сферической аберрации, второй — коме, третий — астигматизму, четвертый — кривизне поля, а последний — дисторсии.

Теперь определим условия, при которых восстановленное изображение будет свободно от аберраций: для этого в (56) приравняем каждое слагаемое нулю. Полученные результаты приведены в табл. 1.

Таблица 1 (см. скан) Аберрации и условия их исправления

Из табл. 1 видно, что в общем случае сразу все аберрации, за исключением астигматизма и кривизны поля, нельзя скорректировать вместе. Кроме того, в случае, когда продольное увеличение равно единице все аберрации становятся несущественными.