Глава 2. ОСНОВЫ ГОЛОГРАФИИ

2.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

К. Датта

Интегральным преобразованием функции является другая функция которая записывается в виде

где некоторая функция от называемая ядром преобразования. Использование интегрального преобразования вместо представляет собой обычный прием при решении физических задач, в которых проще обращаться с функцией чем с В оптике для анализа голографических систем и систем формирования изображения широко применяется метод преобразования Фурье [с ядром вида

В последнее время многие из таких преобразований стали играть все большую роль при исследовании оптических систем. Каждое из преобразований целесообразно использовать в связи с каким-то конкретным режимом работы системы, который трудно исследовать прямыми методами или методом преобразования Фурье. Некоторые из этих преобразований позволяют получать результаты более просто и с более высокой точностью даже в тех случаях, когда систему можно адекватно изучать прямым методом или методом Фурье.

В данном параграфе мы рассмотрим и определим многие из таких преобразований, а также приведем ряд теорем и результатов, связанных с применением этих преобразований. Кроме того, мы дадим перечень пар оригинал — образ для наиболее часто используемых функций в каждом преобразовании. Применяя одну или несколько приведенных нами теорем, можно получить любые другие пары оригинала и его образа.

Многие из интегральных преобразований тесно связаны с преобразованием Фурье и, следовательно, друг с другом. Некоторые такие соотношения приводятся в литературе и иногда помогают решить задачи, связанные с одним из преобразований при использовании результатов, справедливых для другого преобразования. Здесь мы умышленно не затронули вопрос о дискретных аналогах некоторых из этих преобразований, а также целого ряда других дискретных преобразований, которые применяются главным образом в цифровой обработке дискретной выборки данных [1].

Следует заметить, что, согласно данному выше определению, все интегральные преобразования могут рассматриваться как линейные операторы, действующие на функцию с целью получения Следовательно, все преобразования, приводимые ниже, являются линейными. Кроме того, учитывая то, что преобразования должны быть применимыми на практике, мы рассмотрим лишь те из них, для которых существует обратное преобразование вида

В специальных случаях ядра прямого и обратного преобразований могут быть одинаковыми, при этом в том и другом случае функция и ее образ будут связаны симметричными соотношениями.