2.1.1. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье широко используется в когерентной оптической обработке информации и применяется повсюду, где требуются частотный анализ, фильтрация, корреляция и распознавание сигналов. При определенных условиях [14, гл. 4] свойства когерентной оптической системы естественным образом описываются оператором фурье-образа, что в общем случае представляет собой двумерное преобразование Фурье.

Комплексный фурье-образ одномерной (в общем случае комплексной) функции можно определить следующим образом [5]:

Обратное преобразование Фурье принято записывать в виде

Наряду с этими определениями прямого и обратного преобразования Фурье используются и другие [5, гл. 2]. В соответствии с определениями, данными выше, применение прямого, а затем обратного преобразования Фурье дает первоначальную функцию. Функция называется фурье-спектром функции с другой стороны, можно рассматривать как спектр функции

Фурье-образ двумерной функции можно определить следующим образом:

тогда обратное преобразование запишется в виде 00

В случае большего числа измерений фурье-образы определяются аналогично [5, гл. 12; 24, гл. 1].

2.1.1.1. Некоторые свойства преобразования Фурье

Здесь мы сформулируем некоторые теоремы, связанные с преобразованием Фурье, а также приведем другие полезные результаты, причем по возможности будем это делать для двумерных функций. В последующем изложении предполагается, что а также являются основными парами преобразования Фурье.

Разделение переменных. Если можно записать как то представим в виде произведения причем одномерные образы функций и соответственно.

Теоремы подобия и смещения. Совместный результат этих двух теорем очевиден. Функция преобразуется в

Теорема свертки. Свертка функций определяемая в виде

преобразуется в Аналогично преобразуется в

Теорема автокорреляции. Автокорреляция функции определяемая как , или

преобразуется в

Теорема Рэлея.

Теорема производной. Производная преобразуется в преобразуется в

Дифференцирование свертки.

аналогично вычисляется производная по у.

Одномерный образ интеграла есть ; аналогично образ интеграла есть Для двух и большего числа измерений этот результат называется теоремой проекции-среза; проекция функции на некоторую ось представляет собой образ среза функции вдоль другой оси. В более общем виде этот результат формулируется следующим образом: для проекции функции на любую прямую в плоскости образом является соответствующий срез функции и наоборот.

2.1.1.2. Некоторые широко используемые пары фурье-образов

Определим сначала следующие математические функции:

и

В соответствии с этими определениями можно написать следующие пары фурье-образов:

Обширные таблицы преобразований Фурье приводятся Кэмпбеллом и Фостером [6] и Эрдейи [12]; преобразование Фурье детально рассмотрено Снеддоном [24], Чемпени [11] и Брэйсуэллом [5] (см. также литературу, цитируемую в этих работах).