2.1.4. Преобразование Френеля
Преобразование Френеля [15, 21] играет важную роль при описании свободного распространения когерентных оптических полей и при анализе дифракции в условиях, менее ограниченных, чем те, которые требуются для преобразования Фурье. Преобразование Френеля в своем основном виде можно определить следующим образом [201:
Мы видим, что это просто свертка функции 
с экспоненциальной фазовой функцией 
Обратное преобразование записывается также в виде свертки:
Аналогично можно определить двумерные прямое и обратное преобразования Френеля:
Преобразование Френеля тесно связано с преобразованием Фурье. Разложением ядра преобразования Френеля можно показать, что функции 
связаны друг с другом преобразованием Фурье. Наоборот, если 
пары преобразования Фурье, то можно показать, что пара 
связана преобразованием Френеля. В этих выражениях умножение на квадратичный фазовый множитель аналогично виду преобразования, осуществляемого тонкой линзой над комплексной амплитудой падающего на нее светового поля [14, гл. 5]. То, что распространение электромагнитного поля между линзами можно описать, с помощью преобразования Френеля (или свертки с фазовым множителем), позволяет изучать свойства когерентных оптических процессоров, в которых основными операциями являются умножение и свертка [7], на основе алгебраических соотношений. Преобразование Френеля применяется также при исследовании голограмм Френеля и анализе систем воспроизведения с апертурами, кодированными зонной пластинкой.
Поскольку операция преобразования Френеля включает в себя свертку с функцией 
то для любого анализа, связанного с преобразованиями Френеля, полезно знать свойства этой функции. В вышеприведенных выражениях параметр 
в большинстве случаев интерпретируется как кривизна сферических волновых фронтов. Обобщая это представление, комплексные значения 
можно представить себе как значения комплексной кривизны волнового фронта (т. е. сферический волновой фронт с гауссовым профилем интенсивности).
Свойства двумерной функции 
рассмотрены Кэти [10, приложение 2]; их описание можно найти также в работе Карлсона и Франсуа [7].
