2.5.3. Статистическое описание случайных сигналов

2.5.3.1. Описание случайных процессов с помощью усреднения по ансамблю и координатам

Основным назначением любого канала (системы) связи является получение и воспроизведение информации, и фундаментальным параметром, который наиболее полно характеризует такую систему, служит информационная емкость. Независимо от природы системы, будь то электрическая, оптическая или электрооптическая система, она предназначена для обработки информационного сигнала, который может быть либо полностью детерминированным, либо статистическим. В детерминированном случае сигнал обычно задается в виде ряда или интеграла Фурье, т. е. он является периодической или затухающей волной, величина которой точно определена для всех значений переменной (время или пространство). С другой стороны, статистические сигналы для любых значений независимой переменной (время или пространство) не принимают определенных значений, а нам известны лишь их вероятности. Анализ и синтез информационного содержания этих статистических сигналов, обычно называемых «случайными», проводят статистическими или вероятностными методами. В сущности случайные сигналы в бесконечных пределах не имеют фурье-образов, и приходится обращаться к статистическому анализу. Статистические методы можно применять и к детерминированным сигналам, однако наиболее широкое применение они нашли в анализе случайных процессов. В оптике такие методы используются как основной аппарат в построении классической теории частичной когерентности, при анализе шумов зернистости фотографических материалов и исследовании когерентных оптических шумов, называемых «спеклами».

Случайным называют сигнал (или процесс) который не связан детерминированно с независимой переменной (с пространственной, временной или с обеими вместе). Обычно мы имеем дело со случайными сигналами, которые подчиняются упрощающему ограничению, а именно обладают свойством стационарности. Физический процесс со случайным сигналом рассматривается как

стационарный в координатах времени (или пространства), если процесс зависит только от разности координат, т. е. мы можем его записать в виде а не или а не Исследуемый физический процесс, порождающий стационарные случайные сигналы, описывается статистическими параметрами, которые не зависят от времени.

В принципе имеются два пути решения проблемы. В первом случае можно предположить, что функция известна на большом отрезке времени (пространства). Исходя из этого, определяют функции распределения вероятностей, используемые для нахождения значений, усредненных по времени и пространству. Во втором случае мы имеем ансамбль подобных функций. При этом также определяются функции распределения вероятностей, но теперь уже путем исследования всех данных ансамбля. Затем эти функции распределения используются для нахождения средних значений по ансамблю. Предположение о том, что процесс является эргодическим, в принципе позволяет нам утверждать, что усреднения по координатам и по ансамблю должны давать один и тот же результат. Таким образом, перейдем теперь к определению корреляционных функций; при этом будем полагать, что сигналы являются эргодическими стационарными, и средние значения будем определять только по пространственным координатам.

2.5.3.2. Корреляционные функции

Кросс-корреляция комплексных функций дается выражением

Автокорреляционная функция комплексной функции определяется как

Полезно отметить следующие свойства автокорреляционной функции

а) она является четной функцией:

б) ее максимальное значение находится в начале координат:

в) при она равна среднему значению квадрата функции (для многих практических случаев — это энергия системы):

Пример. Свертка или корреляция. Интегралы в выражениях (7) и (8) не следует путать с интегралом свертки. Свертка предполагает поворот одной из функций на 180°, сдвиг и суммирование, в то время как корреляция — только сдвиг и суммирование. Это различие имеет не только семантическое значение. Для нечетных функций результаты оказываются существенно различными.

Симметричные функции. Если рассматривать прямоугольную функцию а шириной 2а, то поворот функции вокруг оси ординат дает ту же самую функцию, поскольку

Рис. 4. Сравнение свертки и автокорреляции симметричных функций, а — симметричная прямоугольная функция; б - симметричные сдвинутая и повернутая функции; в — результирующая треугольная функция.

Таким образом, корреляция прямоугольной функции сама с собой (автокорреляция) и свертка прямоугольной функции сама с собой дают одну и ту же треугольную функцию, как показано на рис. 4.

Несимметричные функции. Как пример различия между сверткой и корреляцией рассмотрим две функции, показанные на рис. 5, а и

определяемые выражениями

Рис. 5. (см. скан) Схематическое представление свертки функций а а — исходные функции; б - свертка в точке х, показывающая поворот функции в — результат операции свертки.

Вычисляя интеграл свертки, как схематически показано на рис. 5, б, получаем

Результирующая функция приведена на рис. 5, в.

Интеграл автокорреляции [см. (8)] можно использовать для вычисления корреляции тех же самых функций показанных на рис. 6, а.

Рис. 6. (см. скан) Схематическое представление корреляции функций а а — исходные функции; б - корреляция в точке х, показывающая сдвиг функции в — результат операции корреляции.

Корреляция этих функций, схематически изображенная на рис. 6, б, записывается в виде

На рис. 6, в приведена результирующая функция после интегрирования. Сравнивая рисунки 5, в и 6, в, мы видим, что в случае несимметричных функций операции свертки и корреляции приводят к совершенно разным результатам.

2.5.3.3. Спектральная плотность

Спектральная плотность стационарного случайного сигнала оказывается весьма полезной при анализе случайных сигналов, поскольку она может быть измерена и имеет определенную связь с автокорреляционной функцией. Спектральную плотность иногда называют плотностью спектра мощности или спектром мощности. Она определяется выражением

где — фурье-образ усеченной формы функции

Спектральная плотность [см. (12)] и автокорреляционная функция [см. (8)] связаны между собой соотношением, играющим очень важную роль. Это соотношение носит название теоремы Винера — Хинчина, которая утверждает, что спектральная плотность и автокорреляционная функция представляют собой пару преобразования Фурье, т. е.

Если на вход линейной системы поступает случайный сигнал, то статистическое описание сигнала на выходе системы имеет вид

где спектральные плотности соответственно на выходе и входе линейной системы, а модуль передаточной функции системы.

2.5.3.4. Примеры применения статистических методов

Пример 1. Линейный фотографический материал. В качестве иллюстрации рассмотрим идеализированную модель фотографического материала в виде линейной системы с импульсным откликом, математически описываемым функцией Гаусса:

где — действительное число, определяющее ширину функции Гаусса. На рис. 7, а приведена функция (15) в нормированном виде. Передаточную функцию, или частотно-контрастную характеристику материала, находим как фурье-образ выражения (15):

Эта функция в нормированном виде показана на рис. 7, б.

Рис. 7. (см. скан) Отклик линейной модели фотопленки на входной сигнал в виде белого шума, а — нормированный импульсный отклик в- виде функции Гаусса [выражение (15)]; б - нормированная гауссова передаточная характеристика линейного фотоматериала [выражение (16)]; в — нормированная автокорреляционная функция выходного сигнала [выражение (20)], полученная в случае, когда на вход линейной системы подается сигнал в виде белого шума.

Пусть на входе линейной системы имеется белый шум, автокорреляцион ная функция которого записывается следующим образом:

где средний квадрат яркости объекта (входного сигнала). Спектральная плотность (спектр мощности) сигнала дается выражением

Спектр мощности на выходе системы можно определить с помощью выражения (14):

Осуществляя фурье-преобразование этого выражения, получаем автокорреляционную функцию выходного сигнала:

Эта функция приведена в нормированном виде на рис. 7, в.

Данный пример показывает, что при подаче на вход линейной системы (фотопленки) случайного сигнала (в нашем случае белого шума) корреляционная функция выходного сигнала [выражение (20)] является более широкой, чем у входного сигнала [выражение (17)]. Степень расширения зависит от ширины а импульсного отклика системы; величина а в свою очередь определяется шириной полосы частот системы. Из сравнения кривых на рис. 7, а и в видно, что корреляционная функция выходного сигнала шире импульсного отклика фотоматериала. Это объясняется тем, что в равенство (14) входит квадрат передаточной характеристики.

Для того чтобы определить корреляционную функцию на выходе, в случае когда корреляционные функции входного сигнала и белого шума отличаются друг от друга, следует осуществить свертку корреляционной функции входного сигнала с выражением (20).

Пример 2. Фильтрация сигнала в присутствии аддитивного шума.

1) Винеровский фильтр. Одной из фундаментальных проблем, связанных с применением методов оптической пространственной фильтрации [4, 7, 14, 16] к реальным фотографическим изображениям, является шум, обусловленный зернистостью фотоматериала; этот шум проявляется в виде нерегулярной пространственной структуры, разрушающей изображение. Поскольку такая нерегулярность носит случайный характер, то, чтобы свести ее проявление к минимуму, необходимо обратиться к статистическим методам. Такой подход к фильтрации сигналов в присутствии аддитивного шума разработан и широко применяется как в электрических, так и в оптических системах [1, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 15].

В этом подходе фильтр минимизирует среднеквадратичную ошибку между ожидаемым сигналом и сигналом на входе фильтрующей системы. Общий вид передаточной функции такого оптимального фильтра [1, 12] дается выражением

где спектр взаимной мощности входного (объекта) и ожидаемого сигналов, а спектр мощности входного сигнала. Для того чтобы применить рассматриваемый метод к обработке фотографий с зернистой структурой, обратимся к блок-схеме системы,

приведенной на рис. 8. Фильтрующая система должна по возможности с наибольшей точностью извлечь исходное изображение из изображения в котором содержится шум.

Рис. 8. Блок-схема системы формирования изображения в винеровской фильтрации.

Передаточная функция системы оптической пространственной фильтрации, выполняющей эту задачу в смысле получения наименьшего среднеквадратичного отклонения [1, 14], записывается в виде

где спектр взаимной мощности объекта и изображения, спектр взаимной мощности объекта и шума, спектр мощности изображения, спектр мощности объекта, спектр мощности шума, спектр взаимной мощности изображения и шума и передаточная функция системы линза — пленка. В общем случае, для того чтобы можно было вычислить спектр взаимной мощности объекта и шума, необходимо иметь фурье-спектр шума, а не его спектр мощности. Поэтому при решении задач, связанных с оптическими системами при наличии шума, предполагают, что в выражении (22) члены, соответствующие спектрам взаимной мощности, пренебрежимо малы, т. е. объект и шум не коррелированы. В общем случае фотографической регистрации шум непосредственно зависит от величины сигнала; однако пренебрежение корреляцией вполне допустимо для случая низкого контраста изображения, что имеет место в аэрофотографии или для мелкозернистых изображений. Таким образом, принимая допущение, что объект и шум не коррелированы, выражение (22) можно записать в виде

Исследуя это выражение, мы придем к двум интересным случаям, которые позволяют глубже понять физику процесса фильтрации.

Первый случай имеет место, когда шум исчезающе мал, так что При этом выражение (23) принимает вид

Это обратный фильтр для системы. Мы видим, что он минимизирует среднеквадратичное отклонение при отсутствии шумов,

Второй случай имеет место, когда шум мал, но пренебречь им нельзя, т. е.

В этом приближении выражение (23) принимает вид

В таком приближении, когда шумом пренебречь нельзя, пропускание оптимального фильтра при какой-либо частоте уменьшается по сравнению с пропусканием инверсного фильтра на величину, зависящую от отношения сигнал/шум при данной частоте.

Рис. 9. Расчетные передаточные характеристики винеровских фильтров при различных значениях отношения сигнал/шум кривая кривая кривая 3 — бесконечность. (Согласно Хорнеру [9].)

Для случая гауссовой передаточной функции, достигающей значения при 22,5 линий/мм, на рис. 9 представлены кривые, вычисленные в соответствии с (23) при различных постоянных значениях отношения сигнал/шум. Из рисунка видно, что с уменьшением

отношения сигнал/шум граничная частота оптимального фильтра, соответствующая максимальному пропусканию фильтра, смещается в сторону более низких частот. Это означает, что более высокие частоты по сравнению с граничной частотой фильтра вносят вклад только в шум и, следовательно, срезаются фильтром. В работе [9] сообщается об экспериментальном подтверждении того, что оптимальный фильтр имеет определенные преимущества перед инверсным в случае, когда изображение передается через турбулентную среду.

2) Согласованный фильтр. Другим линейным фильтром, полезным при обнаружении известных сигналов на фоне аддитивных помех, является согласованный фильтр [3]. Передаточная характеристика этого фильтра, который максимизирует отношение пиковой величины сигнала к среднеквадратичному значению шума, записывается в виде

где О — функция, комплексно-сопряженная с фурье-спектром сигнала (объекта), спектр мощности шума. Такие фильтры изготовляются голографическими методами и подробно рассматриваются в § 10.5.

Пример 3. Спекл-фотография (пример усреднения по ансамблю). Передача изображений через турбулентную атмосферу сопровождается разрушением волновых фронтов, идущих от каждой точки объекта, так что волновой фронт, достигающий оптической системы, имеет случайные распределения амплитуды и фазы. Восходящие потоки, присутствующие в атмосфере, приводят к неоднородности ее плотности, что в свою очередь вносит фазовые искажения в волновой фронт. При достаточно длинном пути фазовые изменения волнового фронта приводят к случайным изменениям амплитуды в плоскости входного зрачка объектива. Как вблизи, так и вдали от входного зрачка системы, формирующей изображение, могут образоваться фазовые сдвиги, которые вызывают следующие искажения в изображении:

1) мерцания, флуктуации интенсивности;

2) дисторсия, сдвиг части или всего изображения и

3) размытие, расширение мгновенного импульсного отклика. Метод улучшения разрешения для искаженных турбулентностью фотографических изображений описан в литературе [11]. Основной принцип метода заключается в том, что при фотографировании через атмосферу со сколь угодно короткой экспозицией многие точки изображения оказываются искаженными, однако некоторые точки изображения в одном или нескольких направлениях имеют разрешение, определяемое полной апертурой объектива. Использование

серии изображений, полученных при коротких экспозициях, позволяет реализовать высокое разрешение изображения объекта во всех направлениях. Таким образом, ансамбль изображений объекта, имеющего центр симметрии (двойная звезда) регистрируется на пленке с очень короткими экспозициями. Экспозиции должны быть достаточно короткими, чтобы «исключить влияние» движения атмосферы. Фурье-образы каждого изображения ансамбля суммируются последовательно в когерентной системе типа показанной на рис. 10.

Рис. 10. Оптическая система, предназначенная для суммирования фурье-образов ансамбля искаженных изображений,

Согласно теореме сдвига, установленной в анализе Фурье, центры фурье-образов объекта в каждом изображении ансамбля лежат на оптической оси системы, в то время как фурье-образ шума распределяется случайным образом. Последовательная запись интенсивностей в плоскости Фурье системы приводит к сложению спектров мощности сигнала от каждого изображения ансамбля и одновременному усреднению шумов. Такое сложение (усреднение по ансамблю) увеличивает отношение сигнал/шум, сохраняя в зарегистрированном виде всю информацию от каждого изображения ансамбля. Поскольку в данном методе регистрируется интенсивность фурье-образа, фаза объекта теряется, и этим методом можно успешно исследовать лишь объекты с центральной симметрией.

После фотографической обработки пленки, полученной в плоскости преобразования Фурье системы, приведенной на рис. 10, до коэффициента контрастности 0,5, она помещается в фурье-анализатор, на выходе которого наблюдается улучшенное изображение. Данный метод был обобщен таким образом, чтобы можно было исследовать объекты, не имеющие центра симметрии; для этого был разработан машинный алгоритм, который позволяет вычислить относительную фазу автокорреляционной функции [10].