95. Линейные нормированные пространства.

Мы введем теперь абстрактные пространства, которые являются метрическими, но обладают и другими свойствами. Элементы пространства будем, как и выше, обозначать последними буквами алфавита а числа первыми а, . Эти числа можно считать или вещественными, или комплексными. В первом случае мы имеем вещественное пространство, во втором — комплексное. Дальше, если не будет оговорено особо, мы будем рассматривать комплексные пространства.

Множество X элементов называется линейным пространством, если его элементы удовлетворяют указанным ниже аксиомам.

Аксиома А. Элементы X можно умножать на числа и складывать, т. е. если элементы X и а — число, то суть также определенные элементы X.

Указанные операции подчиняются следующим законам:

Введём понятие нулевого элемента. Пусть х и у — любые два элемента из Н. Мы покажем сейчас, что Обозначим Пользуясь законами 4 и 6, можем написать

и совершенно аналогично . Далее, в силу законов 1 и 2, имеем

и совершенно аналогично откуда следует, что и, в силу 7, мы и имеем . Таким образом, при умножении любого элемента на число 0 мы получаем один и тот же элемент, который и назовём нулевым элементом. Обозначим нулевой элемент символом . Нетрудно проверить следующие простые следствия указанных выше законов. Произведение при любом комплексном а равно . Если , то . Если , то . Если и , то . Символом обозначим произведение . Разность определим формулой:

Нетрудно проверить, что и для разности справедливы обычные правила алгебры. В дальнейшем нулевой элемент мы будем обозначать просто символом 0. Это не вызовет путаницы с числом 0, если внимательно относиться к тем равенствам, которые в дальнейшем будем писать. Если одна часть равенства есть элемент а в другой части стоит 0, то его надо понимать как нулевой элемент X.

Определение. Элементы называются линейно независимыми, если равенство

возможно лишь в том случае, когда все числа равны нулю.

Для -мерного комплексного пространства, рассмотренного нами в третьем томе, максимальное число линейно независимых элементов равно п. Иногда вводят аксиому, которая исключит возможность конечномерного пространства.

Аксиома В. Для любого целого положительного существует линейно независимых элементов. В дальнейшем она не играет существенной роли. Введем еще одну аксиому.

Аксиома С. Каждому элементу сопоставляется определенное вещественное неотрицательное число норма этого элемента, и эта норма должна удовлетворять следующим трем условиям:

где а — любое число и модуль а. Из второго и третьего свойств нормы следует, что и

т. е.

Расстояние между элементами определяется формулой и нетрудно видеть, что удовлетворяет всем трем условиям, указанным при определении метрического пространства, т. е. всякое линейное нормированное пространство есть в то же время и метрическое пространство, так что для линейных нормированных пространств справедливо все то, что мы говорили о метрических пространствах. Норма может быть выражена через расстояние очевидной формулой .

Если присоединить требование полноты, то линейное нормированное пространство будем называть пространством типа В или пространством . Все дальнейшее относится к пространствам В.

Неполное линейное нормированное пространство можем пополнением довести до полного [85]. Норма добавляемых элементов определяется формулой . При пополнении сохраняются все аксиомы и, в частности, аксиома А. Последнее следует из непрерывности суммы и произведения , о чем мы будем говорить ниже. В дальнейшем будем иметь сходящиеся последовательности чисел и элементов. Для сходящейся последовательности чисел будем, как и выше, писать , а для элементов .

Сходимость равносильна . Мы можем рассматривать в В бесконечные ряды где Обозначим

Если последовательность элементов В имеет предел , то говорят, что указанный ряд сходится и имеет сумму .

Покажем, что выражения непрерывны, т. е. если то и . Мы имеем

Правая часть стремится к нулю, а следовательно, и левая, т. е. . Разность апхп пишем в виде имеем

и, принимая во внимание, что из следует ограниченность видим, что правая часть стремится к нулю. Отметим еще, что если , то . Это следует из формулы и непрерывности расстояния. Определим линеал в В: множество

элементов U называется линеалом при соблюдении условия: если , то и их любая линейная комбинация Достаточно убедиться в том, что если то при любом выборе числа а. Полагая , видим, что нулевой элемент принадлежит всякому непустому линеалу. Замкнутый линеал будем называть подпространством. Нетрудно видеть, что если U — незамкнутый линеал, то замкнутое множество U есть подпространство, т. е. замыкание линеала приводит к подпространству. Это вытекает из доказанной выше непрерывности выражений . Если множество U не линеал, то, образуя всевозможные конечные линейные комбинации стхт элементов получим новое множество элементов V, которое будет уже линеалом. Оно называется обычно линейной оболочкой U. Это — наименьший линеал, содержащий .

Если линейно независимые элементы, то множество U элементов В, представимых формулой при всевозможном выборе чисел является, очевидно, линеалом. Легко показать, что этот линеал — замкнутое множество (подпространство). В силу линейной независимости представление указанной выше формулой единственно. Такой линеал называется обычно конечномерным. Можно выразить все элементы U по формуле: , где любые линейно независимые элементы U и - произвольные числа, и во всякой формуле, представляющие все элементы U в виде такой формулы, число слагаемых всегда равно k. Это число называется размерностью U.

Отметим, что всякое подпространство В является также пространством В.

Мы определили выше понятие изометричности для метрических пространств. Приведем определение изометричности, для пространств В. Два таких пространства X и X называются изометричными, если между их элементами можно установить биоднозначное соответствие так, что соблюдаются следующие два условия: 1) если — две любые пары соответствующих элементов из X и то при любом выборе чисел а и b также соответствующие элементы; 2) нормы соответствующих элементов одинаковы.

Из сказанного следует, что нулевые элементы X и обязательно должны быть соответствующими элементами и что расстояния между соответствующими элементами в X и одинаковы.

С точки зрения абстрактной теории изометричные пространства не имеет смысла различать, и мы будем писать .