§ 78. РАБОТА СИЛЫ УПРУГОСТИ

Сила упругости, как мы знаем, возникает при деформации тел. По своему абсолютному значению она пропорциональна величине деформации (удлинению), а направлена в сторону, противоположную направлению смещения точек тела при деформации.

На рисунке 199, а показана пружина в ее естественном, недеформированном состоянии. Правый конец пружины закреплен, а к левому прикреплено тело. Если пружину сжать, сместив левый

Рис. 199,

ее конец на расстояние (рис. 199, и), то возникнет сила упругости, действующая со стороны пружины на тело, равная:

где — жесткость пружины.

При перемещении витков пружины сила упругости совершит работу. Какова величина этой работы?

Предположим, что левый конец пружины переместился из положения А в положение В (рис. 199, в). В этом положении деформация пружины равна уже не Значит, конец пружины переместился на расстояние Чтобы вычислить работу, нужно это перемещение умножить на силу. Но сила упругости в отличие от силы тяжести вблизи поверхности Земли при движении тела изменяется от точки к точке. Если в начальной точке она была равна то в конечной точке (в точке В) она стала равной

Для того чтобы вычислить работу силы упругости, нужно взять среднее значение силы упругости и умножить его на перемещение (см. § 75).

Сила упругости пропорциональна деформации пружины. Поэтому среднее значение силы упругости можно найти, используя метод, который был использован при нахождении среднего значения скорости при равноускоренном движении (см. § 18).

Для среднего значения скорости при равноускоренном движении мы получили формулу

— начальное и — конечное значение скорости. Подобно этому среднее значение силы упругости можно определить по формуле

На это-то значение силы упругости и нужно умножить перемещение чтобы получить работу этой силы:

Так как то формула для работы принимает вид:

Работа силы упругости равна половине произведения жесткости упругого тела на разность квадратов его начального и конечного удлинений.

Если конечное удлинение пружины равняется нулю т. е. пружина приходит в недеформированное состояние, то она

совершает работу

где — начальное удлинение пружины.

Интересно, что работа силы упругости имеет некоторое сходство с работой силы тяжести. Если сравнить выражения для работы этих двух сил:

и

то можно заметить, что в обоих случаях работа зависит от начального и конечного положений тела. В первой формуле высота определяет положение тела, на которое действует сила тяжести (например, относительно поверхности Земли). Во второй формуле удлинение определяет положение одного конца пружины относительно другого ее конца.

Работа как силы упругости, так и силы тяжести зависит не от формы, или длины пути, а только от начального и конечного положений движущегося тела.

Задача. При столкновении вагонов их буфера (по два на каждом вагоне) сжались на 5 см. Какая работа была при этом совершена силами упругости пружин, если известно, что при сжатии буфера на 1 см возникает сила упругости в 10 000 н?

Решен» е. Вычислим сначала работу одной из четырех пружин. Для этого воспользуемся формулой

Подставив сюда приведенные в условии задачи значения, получим:

Так как у сталкивающихся вагонов четыре пружины, то общая работа сил упругости равна — 5000 дж. Знак «минус» означает, что сила упругости пружин направлена против направления перемещения вагонов.

Упражнение 50

1. Как находится среднее значение сипы упругости?

2. В чем сходство работ, совершаемых силой упругости и силой гяжесги?

3. Чему равна работа силы упругости, если тело, на которое она действует, пройдя какое-то расстояние, вернулось в исходную точку?

4. Мальчик определил максимальную силу, с которой он может растягивать динамометр. Она оказалась равной 400 н. Какую он совершил при этом работу, если жесткость пружины

Рис. 200

5. К пружине, верхний конец которой закреплен, подвешено тело массой 18 кг. При этом длина пружины равна 10 см. Когда же к ней подвешивают тело массой 30 кг, ее длина становится равной 12 см.

Вычислите работу, которую нужно совершить, чтобы растянуть пружину от 10 до 15 см.

6. Цирковой артист, месса которого равна 60 кг, прыгает с высоты 10 м на растянутую сетку. На сколько прогнется при этом сетка?

Когда артист стоит неподвижно на сетке, прогиб ее равен 5 см.

7. На рисунке 200 показан график зависимости силы, необходимой для сжатия пружины детского пистолета, от ее деформации. Вычислите работу, которая совершается при сжатии пружины на 2 см. Докажите, что эта работа численно равна площади треугольника