§ 3. Метод Фурье

10. Метод Фурье.

Мы рассмотрим в этом параграфе задачу о свободных колебаниях струны, закрепленной на обоих коьцах. Как укачано в § 1, задача сводится к решению однородного уравнения струны

при начальных условиях

и краевых условиях

Метод Фурье (или, как его еще называют, метод разделения переменных) принадлежит к числу важнейших методов решения уравнений математической физики. Мы с ним будем в дальнейшем неоднократно встречаться.

Первая часть метода Фурье состоит в том, мы отыскиваем частные решения уравнения (3 1), удовлетворяющие краевым условиям (3.3), вида

Каждое из искомых частных решений, таким образом, представляется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только , а другая — только от

Дифференцируя дважды выражение (3.4) по х и по t, получим

(Для сокращения записи мы не пишем аргументов функций и )

Подставляя выражения для производных в уравнение (3.1), получим

или, деля обе части равенства на произведение

Чтобы функция и была решением уравнения (3.1), равенство (3.5) должно соблюдаться при всех значениях х и t. Левая часть этого равенства зависит только от переменной t и не может изменяться при изменении Поэтому, если зафиксировать t и менять х, левая часть, а следовательно правая, будет сохранять постоянное значение. Рассуждая аналогично, установим, что правая часть, а следовательно и левая, не может изменяться и при изменении t. Это будет справедливо только в том случае, когда обе части равенства (3.5) вообще не зависят ни от х, ни от t, т. е. когда оба отношения и являются величинами постоянными:

(3.6)

Отсюда следует, что функции и должны удовлетворять дифференциальным уравнениям

Поскольку мы ищем частые решения, удовлетворяющие краевым условиям (3.3), то при любом значении t должны соблюдаться равенства

Если бы обращался в нуль и горой множитель, то решение равнялось бы нулю при всех значениях х и t. Поэтому, чтобы отыскать решения, не тождественно равные нулю (а только такие нас и интересуют), мы должны считать, что

В результате для отыскания функции мы пришли к следующей задаче): найти решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

при условиях

Разумеется, эта задача при любом с имеем решение, тождественно равное пулю: . Оказывается, однако, что при некоторых значениях постоянней с задача имеем и другие решения.

Заметим, что в этом состоит существенное отличие решения рассматриваемой задачи от решения обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, когда для определения частного решения задаются значения функции и ее производной в некоторой начальной точке. Как известно (см. введение), последняя задача имеет единственное решение.

Полагая составим для уравнения (3.8) характеристическое уравнение

и рассмотрим различные случаи.

1) Пусть . Тогда корни характеристического уравнения действительны, и общее решение уравнения имеет вид

Чтобы соблюдались условия (3.9), мы должны положить

Так как определитель этой однородной системы

не равен нулю, то система имеет единственное решение

Таким образом, в этом случае решений, отличных от тождественного нуля, не существует.

2) Пусть . Тогда оба корпя характеристического уравнения равны нулю и

Подставляя в условия (3.9), получим

т. е. опять-таки .

3) Пусть, наконец, Корни характеристического уравнения чисто мнимые, и решение будет содержать тригонометрические функции

При должно быть

а при

Последнее равенство возможно, когда именно оно будет удовлетворяться при

т. е. при

(k не равно нулю, так как по условию )

Итак, если , то существуют решения уравнения (3.8), не равные тождественно нулю.

Решение, отвечающее некоторому фиксированному k, обозначим через Оно имеет вид

где — произвольная постоянная. Мы вправе в дальнейшем придавать k только положительные значения: поскольку при отрицательных k будут получаться решения того же вида (ведь — произвольные постоянный, которые могут иметь любые знаки).

Как мы видим, каждому значению соответствует бесчисленное множество решений (3.10), отличающихся друг от друга постоянным множителем.

Величины называют собственными числами, а функции - -собственными функциями дифференциального уравнения (3.8) с краевыми условиями (3.9).

Напомним читателю, что система функций называется ортогональной в интервале , если интеграл от произведения любых двух различных функций системы равен нулю: если (см. [1], п. 205). Легко установить, что найденные собственные функции ортогональны на интервале Действительно, при

Теперь обратимся к отысканию функций . Каждому собственному числу будет соответствовать своя функция определяемая вторым из уравнений (3.7) (напоминаем, что ):

Его общее решение имеет вид

где — произвольные постоянные.

Подставляя выражения (ЗЛО) и (3.11) в формулу (3.4), найдем частные решения уравнения (3.1), удовлетворяющие краевым условиям (3.3). При этом каждому значению будет отвечать решение

Внося множитель в скобку и вводя обозначения запишем в виде

(3.12)

Решения называются собственными функциями задачи; соответствующие им колебания струны называются собственными колебаниями.

Физический смысл решений (3.12) мы рассмотрим несколько позже, а сейчас перейдем ко второй части метода Фурье и при помощи собственных функций построим решение, удовлетворяющее начальным условиям (3.2). Для этого возьмем сумму решений (3.12), которая в силу линейности и однородности уравнения (3.1) также будет являться его решением:

Поскольку мы составили бесконечный ряд, то, разумеется, нужно, чтобы он был сходящимся. Мы предположим также, что его можно дважды почленно дифференцировать (см. введение). Ясно, что функция удовлетворяет краевым условиям (3.3), так как им удовлетворяет каждая из функций

Будем теперь подбирать произвольные постоянные так, чтобы функция (3.13) удовлетворяла начальным условиям. Подставляя значение t = 0, получим

Дифференцируя ряд (3.13) по t:

и подставляя , удовлетворим второму начальному условию:

Формулы (3.14) и (3.15) показывают, что величины являются коэффициентами разложения функций в ряд Фурье по синусам в интервале (см. [1], п. 201). Вспоминая формулы для коэффициентов этого разложения, найдем а:

Так как

Подставляя выражения для коэффициентов в ряд (3.13), мы окончательно найдем решение поставленной задачи.

Мы не останавливаемся на условиях, которые надо наложить на функции чтобы было оправдано сделанное допущение о возможности почленного дифференцирования

Обычно в физических задачах эти условия соблюдаются.

Формула (3.13) показывает, что в моменты времени струна возвращается в свое первоначальное состояние; это означает, что колебания струны незатухающие и периодически повторяющиеся, с периодом Так происходит потому, что мы пренебрегли силами трения. При учете их получились бы затухающие колебания, аналогично тому как это имеет место в случае обыкновенных гармонических колебаний точки. Решение задачи в этом случае приведено в п. 14.