Глава 8. ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС

В гл. 5 было показано, что распределение вероятностей суммы независимых случайных величин при неограниченном увеличении числа слагаемых стремится к гауссовскому. В гл. 7 мы установили, что дробовой шум электронной лампы является гауссовским процессом; ниже, в гл. 9, мы увидим, что гауссовским процессом является также шум, порождаемый тепловым движением электронов в сопротивлении. Таким образом, гауссовские случайные величины и гауссовские вероятностные процессы являются особенно важными и заслуживают специального изучения. В этой главе мы исследуем некоторые из их свойств.

8.1. Гауссовские случайные величины

Действительная случайная величина х, имеющая плотность распределения вероятностей

изображенную на фиг. 8.1, называется гауссовской случайной величиной; ее характеристическая функция равна

Соответствующая функция распределения имеет вид

Для больших значений X справедливо следующее асимптотическое разложение для

Поскольку приведенная выше гауссовская плотность является четной функцией от х, момент n-го порядка

для нечетных значений равен нулю:

Фиг. 8 1. Гауссовские функция распределения плотность распределения

При четном

в чем нетрудно убедиться прямым вычислением соответствующего интеграла или же последовательным дифференцированием гауссовской характеристической функции. В частности,

и

Рассмотрим новую случайную величину

где х — гауссовская случайная величина, рассмотренная выше.

Из равенств (8.6) и (8.7) следует, что

и

Плотность распределения вероятностей величины у находим, используя равенство (3.43):

Соответствующая характеристическая функция равна

Случайная величина у является гауссовской случайной величиной со средним значением и дисперсией

Центральный момент порядка случайной величины у равен

Поэтому, согласно равенству (8.5),

и