2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем

Определение 2.8.1. Пусть - алгебраические системы, и пусть для каждого из В отношения одного ранга . Гомоморфным отображением системы А в называется такое однозначное отображение f множества А в (соответственно на) А, которое удовлетворяет условию

Определение 2.8.2. Пусть — алгебраические системы, и пусть для каждого из В отношения одного ранга . Изоморфным отображением системы А в называют такое однозначное отображение множества A в (соответственно на) А, которое, во-первых, взаимнооднозначно и, во-вторых, удовлетворяет условию

Замечания 1. Если — алгебраические операции, то из условия (2.8.1) следует условие (2.8.2).

2. Если сор и — отношения, то утверждение, аналогичное высказанному в замечании 1, вообще говоря, неверно. В самом деле, пусть но — правильная часть сор. В этом случае условие (2.8.1) выполняется в одну сторону но не выполняется в другую

3. Если — алгебраическая операция, то из условия (2.8.2) следует, что — алгебраическая операция.

Обозначение. Если f — изоморфное отображение системы А на В, то мы употребляем запись

Запись «А В» означает, что существует (определено) изоморфное отображение системы А на систему В.

Теорема 2.8.1. Пусть — системы с отношениями одного ранга 3, и пусть определено изоморфное отображение системы А на систему В.

Тогда — алгебраическая (бинарная) операция на А в том и только том случае, если — алгебраическая операция на В,

Доказательство. Так как — отображение А на то любой элемент В является образом некоторого элемента А в отображении Нам достаточно показать, что для любых элементов из В можно найти и только один элемент такой, что

(2.8.3)

Но поскольку f — изоморфное отображение А на В, то соотношение (2.8.3) выполняется тогда и только тогда, если

Последним условием элемент множества А, а значит, и определяется однозначно.

Теорема 2.8.2. Пусть и — алгебры; — бинарные операции в них; f — гомоморфное отображение А на В. Тогда:

1) если операция со ассоциативна, то и операция ассоциативна;

2) если операция со коммутативна, то и операция коммутативна;

3) если операция со обладает нейтральным элементом, равным 0, то и операция обладает нейтральным элементом, равным ;

4) если операция обладает нейтральным элементом и — симметричный а элемент А относительно операции с нейтральным элементом , то — симметричный элементу относительно операции с нейтральным элементом ;

5) если система А — группа, то и система В — группа. Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть любые элементы множества В. Так как f — отображение А на 5, то во множестве А имеются элементы такие, что

Но — гомоморфное отображение системы А на В, поэтому

Отсюда легко получим

Аналогично доказываются и другие утверждения.

Теорема 2.8.3. Пусть системы — алгебры с бинарными операциями и f — гомоморфное отображение системы А на систему В. Тогда:

1) если операции системы А связаны законом дистрибутивности, то и операции системы В обладают тем же свойством;

2) если система А — полукольцо, то и система В — полукольцо, в частности коммутативное полукольцо, если таким является полукольцо А;

3) если система А — кольцо, то и система В — кольцо;

4) если система А — тело, то и система В — тело или состоит из одного нуля;

5) если система А — поле, то и система В — поле или состоит из одного нуля.

Доказательство этой теоремы легко получить, если воспользоваться теоремой 2.8.2.

Вопросы: 2.8.1. Доказать, что для любых систем А, В и С с отношениями:

2.8.2. В условиях теоремы 2.8.2 показать, что если система А — полугруппа с сокращением, то В может и не обладать тем же свойством.

2.8.3. В условиях теоремы 2.8.2 показать, что если f — изоморфное отображение А на В и А — полугруппа с сокращением, то и В обладает тем же свойством.

2.8.4. В условиях теоремы 2.8.3 В не обязательно кольцо без делителей нуля, если А — кольцо без делителей нуля.

2.8.5. В условиях теоремы 2.8.3 показать, что если f — изоморфное отображение А на В и А — кольцо без делителей нуля, то и В — кольцо без делителей нуля.

2.8.6. Пусть — линейная алгебра над полем с единицей е. Доказать, что система содержит подполе, изоморфное Р.

2.8.7. Пусть — алгебраические системы и . Доказать, что если системы А и В изоморфны, то системы также изоморфны.

2.8.8. Пусть — какая-либо алгебраическая система, В — множество и — однозначное отображение множества А в В. Если для каждого через обозначить отношение в наведенное (определение 2.3.4) отношением при отображении f множества А в В, то гомоморфное отображение системы А в систему . В частности, f — изоморфное отображение системы А на В, если f — взаимно-однозначное отображение А на В.

2.8.9. Пусть — какие-нибудь комплексные корни уравнения и — поля вопроса 2.6.23. Показать, что поля — изоморфны.