2.7. Векторные пространства и линейные алгебры

Определение 2.7.1. Пусть - поле, коммутативная группа, и пусть для каждого элемента k поля Р на множестве А задана унарная операция Систему называют векторным пространством над полем Р, если выполнены следующие условия:

Любой элемент векторного пространства А, т. е. любой элемент множества А, называют вектором.

Множество унарных операций пространства А определяет такое однозначное отображение прямого произведения Р x А в множество А, в котором паре соответствует элемент пространства А. Обычно этот элемент называют произведением элементов А и а и обозначают символом . Таким образом,

В соответствии с этим условия 1) — 4) записываются так:

В связи с этим естественно вместо записи употреблять обозначение .

Пример 2.7.1. Пусть — поле; определим для -кортежей элементов поля Р сложение, как в вопросе 2.5.13, а умножение на элементы поля Р условием:

Легко видеть, что введенными операциями определяется векторное пространство над полем Р.

Определение 2.7.2. Пусть — векторное пространство над полем Р; систему элементов

(2.7.1)

пространства А называют линейно зависимой над полем Р, если в поле Р можно найти такие не все равные нулю элементы что

Систему (2.7.1) называют линейно независимой над полем Р, если

каковы бы ни были не все равные нулю элементы поля Р.

Пусть ; элемент b линейно над полем Р выражается через систему (2.7.1), если в поле Р можно найти такие элементы что

Так как строки (столбцы) любой прямоугольной над полем Р матрицы можно рассматривать как векторы одного пространства над полем Р (пример 2.7.1), то без особых пояснений ясен смысл терминов: «строки данной матрицы линейно зависимы (независимы) над полем Р», «данная строка матрицы М линейно над полем Р выражается через остальные строки этой матрицы».

Вопросы: 2.7.1. Доказать, что конечная система векторов пространства над полем Р линейно зависима, если ее какая-нибудь подсистема линейно зависима.

2.7.2. Присоединим к какой-нибудь матрице над полем Р столбец, состоящий из одних нулей. Доказать, что строки данной матрицы линейно зависимы над полем Р тогда и только тогда, если линейно зависимы над полем Р строки полученной матрицы.

2.7.3. Пусть — поле, А — векторное пространство над полем Р; — элементы поля Р; — векторы пространства А такие, что:

Доказать, что система векторов линейно зависима над полем Р тогда и только тогда, если система линейно зависима над полем Р,

2.7.4. Пусть Р — поле, М — прямоугольная матрица над полем Р, Доказать, что если число строк матрицы М больше числа ее столбцов, то ее строки линейно зависимы над полем Р.

2.7.5. Пусть Р — поле, А — векторное пространство над полем — две системы векторов пространства А. Доказать следующее утверждение: если и каждый вектор второй системы линейно над полем Р выражается через векторы первой, то вторая система линейно зависима над полем Р.

Определение 2.7.3. Пусть — векторное пространство над полем Р. Пространство А называют -мерным векторным пространством над полем Р, а число — размерностью этого пространства, если в пространстве А можно указать такие элементы:

(2.7.2)

что любой вектор а пространства А линейно над полем Р и однозначно выражается через векторы системы (2.7.2). Систему (2.7.2) в этом случае называют базисом пространства А.

Легко видеть (вопрос 2.7.5), что размерность пространства не зависит от выбора ее базиса. Другими словами, число векторов в любом базисе пространства А одно и то же.

Определение 2.7.4. Пусть - поле, алгебра с двумя бинарными операциями и одной нульарной. Пусть для каждого элемента k поля Р на множестве А задана одна унарная операция . Систему называют линейной алгеброй над полем Р, если выполняются следующие условия:

1) система векторное пространство над полем Р;

Как и выше, для любых элемент <ока обычно называют произведением элементов употребляют обозначение

В согласии с этим вместо записи употребляют обозначение .

Линейную алгебру А называют ассоциативной, если

(2.7.3)

и коммутативной, если

(2.7.4)

В случае, если для алгебры А выполняются условия (2.7.3.) и (2.7.4), алгебру А называют ассоциативно-коммутативной.

Линейную алгебру А называют альтернативной, если

Линейную алгебру А называют алгеброй с делением, если

Линейную алгебру называют алгеброй без делителей нуля, если

Определение 2.7.5. Пусть линейные алгебры над полем Если алгебра -подкольцо кольца

то алгебру В называют подалгеброй алгебры А.

Пример 2.7.2. Пусть коммутативное кольцо, — подполе кольца А. Полагаем

Нетрудно заметить, что система алгебра над полем Р. Итак, коммутативное кольцо — линейная алгебра над любым своим подполем.

Примеры: 2.7.3. Рассмотрим кольцо матриц порядка над полем (см. вопрос 2.6.20). Определим умножение элементов множества Р на матрицы порядка следующим образом:

Нетрудно проверить, что система является ассоциативной алгеброй без деления над полем Р.

2.7.4. Кольцо вопроса 2.6.21 — тело. Если умножение на действительные числа матриц множества определить, как в примере 2.7.3, то мы получим ассоциативную алгебру с делением над полем действительных чисел.

2.7.5. Кольцо многочленов от одного неизвестного над полем Р является линейной алгеброй над своим подполем Р.

Вопросы: 2.7.6. Пусть — алгебра над полем — подмножество А. Доказать, что система тогда и только тогда подалгебра алгебры А, если выполняются следующие условия:

2.7.7. Пусть — линейная алгебра над полем Р; В — непустое множество с условием: для каждого Р из В определена — подалгебра алгебры А. Пусть — пересечение всех

Доказать, что система — подалгебра алгебры А. Коротко: пересечение любого множества подалгебр А снова подалгебра алгебры А.

2.7.8. Пусть А — ассоциативная линейная алгебра с делением над полем Р. Тогда А содержит единицу и подполе, изоморфное Р.