6.3. Категоричность системы целых чисел

Теорема 6.3.1. Аксиоматическая теория целых чисел категорична.

Доказательство. В предположении, что аксиоматическая теория целых чисел непротиворечива, мы докажем, что две любые модели, на которых выполняются все тринадцать аксиом данной теории, изоморфны. Пусть:

- одна модель нашей теории;

— вторая модель.

Операции на а также на мы обозначаем одинаковыми знаками. Любой элемент множества снабжаем индексом 1, а любой элемент множества — индексом 2. Мы собираемся определить изоморфное отображение первой модели на вторую. Так как — полукольца натуральных чисел, то существует изоморфное отображение первого полукольца на второе. Таким образом:

По теореме 6.2.1 любой элемент представим в виде разности элементов а любой элемент — в виде разности элементов Этим и воспользуемся для определения изоморфного отображения первой системы на вторую.

Пусть тогда такие, что

Полагает

Заметим, что Поэтому

Далее, если — такие элементы что , то и

Поэтому

Отсюда следует, что — однозначное отображение . Но для любого из можно найти элементы такие, что

А так как — однозначное отображение на то существуют элементы что

Отсюда следует, что — однозначное отображение на Пусть теперь для каких-нибудь элементов

Докажем, что в таком случае . В самом деле,

Отсюда следует, что

Но — взаимно-однозначное отображение на . Поэтому

и, следовательно,

Таким образом, отображение f — взаимно-однозначное отображение на

Совсем нетрудно проверить, что

Вопросы: 6.3.1. Пусть — кольцо целых чисел. Доказать, что всякое кольцо , изоморфное кольцу можно вложить в систему, изоморфную системе целых чисел.

6.3.2. Доказать, что два любых кольца целых чисел изоморфны.

6.3.3. Доказать, что всякое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел.

6.3.4. Доказать, что кольцо матриц второго порядка над полем действительных чисел содержит бесконечно много подколец, изоморфных кольцу целых чисел.