9.6. Алгебры над полем действительных чисел

Теорема 9.6.1. Пусть — ассоциативная алгебра о делением конечного ранга над полем действительных чисел R. Тогда:

1) любой элемент а алгебры А — корень неприводимого над R многочлена первой или второй степени. При этом a g R тогда и только тогда, если а — корень неприводимого над полем R многочлена второй степени и, более того, если существуют такие действительные числа , причем , что

2) если то алгебра А изоморфна алгебре комплексных чисел.

Доказательство. Известно, что (теорема 9.2.5) всякий многочлен с действительными коэффициентами степени выше нулевой разлагается в произведение неприводимых над полем R многочленов первой и второй степени. Отсюда, рассуждая как при доказательстве теоремы 9.5.3, получим:

а) любой элемент алгебры А — корень многочлена первой или второй степени над полем

б) корнями приводимого многочлена над полем R могут быть только действительные числа.

Пусть теперь , но . Из доказанного следует, что можно найти такие действительные числа , что

(9.6.1)

и

Поэтому в силу теоремы 8.2.2 существует действительное число b такое, что

Умножая обе части равенства (9.6.1) на мы без особых затруднений получим

Пусть теперь ранг алгебры А над полем R равен 2. Тогда найдется элемент такой, что . Элементы 1, а линейно независимы над полем R. Легко заметить, что для любых действительных чисел , если только , элементы 1 и , а также линейнонезависимы над R. Числа выберем так, что

Элементы образуют базис алгебры А. Следовательно, любой элемент у из А однозначно представим в виде

Нетрудно проверить, что соответствие

является изоморфным отображением алгебры А на алгебру комплексных чисел.

Теорема 9.6.2. Не существует ассоциативных алгебр с делением ранга 3 над полем действительных чисел.

Доказательство. Пусть — алгебра ранга над полем действительных чисел. Тогда, рассуждая как при доказательстве теоремы 9.6.1, найдем линейно независимые над R элементы такие, что

Докажем, что в таком случае элементы линейно независимы над полем R. Таким образом, мы получим, что

Предположим, что элементы линейно зависимы над полем R. Тогда существуют действительные числа а, b, с такие, что

Умножая слева обе части этого равенства на а, получим

Иначе

Совершая несложные преобразования, найдем

Но

Поэтому

Последнее равенство, как известно, ни для какого действительного числа с выполняться не может. Отсюда следует, что элементы линейно независимы над R и

Теорема 9.6.3. Пусть А — ассоциативная алгебра с делением ранга над полем R действительных чисел и ее элементы линейно независимы над этим полем, Тогда

Доказательство. Из условия теоремы следует, что теореме 9.6.1 можно найти действительные числа такие, что:

С другой стороны

Поэтому, складывая почленно равенства (9.6.2), находим

Отсюда в силу линейной независимости над полем R кортежа получаем:

и, следовательно, Обратимся вновь к равенствам (9.6.2). Легко проверить теперь, что , это и доказывает наше утверждение.

Теорема 9.6.4. Всякая ассоциативная алгебра с делением ранга 4 над полем действительных чисел изоморфна алгебре кватернионов.

Доказательство. Пусть - ассоциативная алгебра ранга 4 над полем действительных чисел . Мы докажем, что алгебра имеет базис, состоящий из элементов таких, что

Рассуждая как при доказательстве теоремы 9.6.1, мы найдем линейно независимые над полем R элементы такие, что . Полагаем , где — действительные числа, которые подберем так, чтобы выполнялись условия:

1) элементы линейно независимы над полем

2)

3)

Первое условие, очевидно, выполняется для любого действительного числа у, если . Далее заметим, что в силу теоремы 9.6.3. Полагаем

Элемент а — действительное число. Имеем

Таким образом, второе условие выполняется, если

Выбором у попробуем обеспечить выполнение последнего условия. Мы имеем

Так как элементы линейно независимы над полем R, то , а поэтому в силу теоремы 9.6.1. По теореме 8.2.2 можно найти действительное число у такое, что

В итоге получим

Этим завершается доказательство теоремы.

Теорема 9.6.5. Над полем действительных чисел нет ассоциативных алгебр с делением конечного ранга , если

Доказательство. Пусть А — ассоциативная алгебра с делением над полем R действительных чисел конечного ранга . Рассуждая как при доказательстве теоремы 9.6.4, мы найдем элементы такие, что:

1) элементы линейно независимы над

2)

Так как ранг больше 4, то в алгебре имеется еще по крайней мере один элемент такой, что элементы линейно независимы над R. Очевидно, можно предположить, что Поэтому по теореме 9.6.3 существуют действительные числа а, b, с такие, что:

Имеем

Но . Поэтому

Отсюда получаем

Умножая справа обе части равенства на находим

что противоречит предположению о линейной независимости над полем R элементов .

Поля действительных и комплексных чисел и тело кватернионов мы можем рассматривать как алгебры над полем действительных чисел. Каждая из них алгебра с делением и имеет конечный ранг. Пусть R, С и К эти алгебры. Ранги алгебр R, С, К соответственно равны 1, 2 и 4.

Из теорем 9.6.1, 9.6.2, 9.6.4 и 9.6.5 следует Теорема Фробениуса. Над полем R действительных чисел любая ассоциативная алгебра А с делением конечного ранга имеет ранг 1, 2 или 4. При этом:

1) если , то алгебра А изоморфна R;

2) если , то алгебра А изоморфна С;

3) если , то алгебра А изоморфна К.

Вопросы: 9.7.1. Доказать, что формулы:

для элементов алгебры кватернионов не верны.

9.7.2. Доказать, что теорема о том, что всякий многочлен степени (в частности ) имеет не более и корней, не верна в алгебре кватернионов.

9.7.3. Пусть — кватернион. Обозначим через q кватернион вида

Показать, что:

9.7.4. Для любых кватернионов доказать тождество

и вывести отсюда, что произведение суммы квадратов четырех целых чисел на сумму квадратов четырех целых чисел, есть сумма квадратов четырех целых чисел (тождество Эйлера).

9.7.5. Доказать, что

для любых кватернионов

9.7.6. Пусть — алгебра кватернионов. На множестве определим две бинарные операции и для каждого действительного числа а оператор условиями:

Пусть далее:

Доказать, что алгебра

1) линейна;

2)

3) конечного ранга 8;

4) альтернативна;

5) отображение является изоморфным отображением алгебры кватернионов в алгебру

6)

7) с делением.

Алгебру вопроса 9.7.6 и любую, ей изоморфную, называют алгеброй Кэли. Элементы этой алгебры называют числами Кэли.

9.7.7. Доказать, что для любых элементов алгебры Кэли

Верна следующая

Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра с делением конечной размерности над полем действительных чисел имеет ранг 1, 2, 4 или 8. В первом случае она изоморфна полю действительных чисел, во втором — алгебре комплексных чисел, в третьем — алгебре кватернионов, в четвертом — алгебре Кэли.