7.2. Последовательности в нормированных полях

Определение 7.2.1. Пусть — нормированное поле, — подполе поля Р. Последовательность элементов поля А называется ограниченной относительно поля по норме v, если выполняется любое из следующих двух эквивалентных условий:

Определение 7.2.2. Пусть — нормированное поле, — подполе поля Р. Последовательность элементов поля А называют фундаментальной по норме v относительно поля если выполняется любое из следующих шести эквивалентных условий:

Легко видеть, что

Полагаем . Имеем

Поэтому

Тем самым эквивалентность всех шести условий доказана.

Определение 7.2.3. Пусть — нормированное поле, — подполе поля Р. Последовательность элементов поля А называется сходящейся к элементу а поля А относительно поля по норме v, если выполняется любое из следующих двух эквивалентных условий:

Эквивалентность этих условий проверяется без труда.

Запись

означает, что последовательность сходится к элементу а по норме v относительно поля

Если последовательность сходится к элементу а по норме v относительно поля , то элемент а называют также пределом последовательности по норме v относительно поля если к тому же то последовательность называют нулевой по норме v относительно поля последовательностью.

Определение 7.2.4. Пусть — нормированное поле, — подполе поля Р. Последовательности элементов поля А называют эквивалентными по норме v относительно поля если последовательность с общим членом нулевая по норме v относительно поля

Обозначение: .

В случае если за норму принимается абсолютная величина, слова «по норме v» в терминах, введенных определениями 7.2.2, 7.2.3 и 7.2.4, мы будем опускать. В случае если поле Р архимедовски упорядочено, выбор подполя при рассмотрении ограниченной, фундаментальной, сходящейся или эквивалентных последовательностей относительно поля как это следует из теоремы 5.4.9, не имеет значения. Поэтому слова «относительно поля в этом случае в терминах, указанных выше, мы иногда будем опускать.

Если поле Р архимедовски упорядочено и в качестве нормы принята абсолютная величина, то предел последовательности мы будем обозначать также и таким символом:

Пример 7.2.1. Пусть Q — поле рациональных чисел; — поле рациональных функций над полем Q. Введем в тот порядок, который в примере 5.4.3. рассмотрен первым. Полученную систему примем за Р. Нормирование выберем естественное. Заметим, что поле Q — подполе поля и порядок, индуцированный порядком системы в поле Q, совпадает с обычным отношением «больше» в поле рациональных чисел. Нам известно, что и в системе Р. Рассмотрим последовательность т. е. . Эта последовательность неограниченно возрастает относительно поля Q, но ограничена относительно поля . В самом деле,

Рассмотрим дальше последовательность . Она сходится к нулю относительно поля Q, но не сходится к нулю относительно поля . Действительно,

Та же последовательность не является и фундаментальной относительно поля , так как

Наконец, стационарная последовательность и последовательность эквивалентны относительно поля Q, но не эквивалентны относительно поля

Пример 7.2.2. Пусть — простое число. Рассмотрим последовательность Эта последовательность рациональных чисел сходится к нулю по -адической норме.

Вопросы: 7.2.1. Рассмотрим в поле рациональных чисел естественное нормирование. Пусть — какая-нибудь последовательность. Показать, что сходимость к нулю последовательности является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы последовательность была фундаментальна.

7.2.2. Рассмотрим -адическое нормирование поля рациональных чисел. Показать, что сходимость к нулю последовательности является необходимым и достаточным условием для того, чтобы последовательность была фундаментальной по -адической норме последовательностью.

7.2.3. Назвать какую-нибудь фундаментальную по -адической норме, но нестационарную последовательность рациональных чисел.

7.2.4. Назвать нестационарную, но сходящуюся и по -адической и по естественной норме последовательность рациональных чисел.

Определение 7.2.5. Пусть — упорядоченное поле; последовательность элементов поля Р называют возрастающей, если

и строго возрастающей, если

Определение 7.2.6. Пусть М — какое угодно множество, — последовательность элементов множества М и — строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность называют подпоследовательностью последовательности

Вопрос 7.2.5. Доказать, что

если — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.