§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ

7.1. Нормированные поля

Определение 7.1.1. Пусть — поле, линейно упорядоченное поле; v — однозначное отображение А в Р. Систему короче , называют нормированным полем, если выполняются 3 следующих условия:

Вместо того чтобы сказать: система — нормированное поле, говорят также: А — нормированное относительно линейно упорядоченного поля Р с нормой v поле.

Примеры: 7.1.1. Пусть А — любое поле, Р — любое линейно упорядоченное поле. Полагаем:

Нетрудно проверить, что система — нормированное поле. Норму v, определенную указанным выше способом, называют тривиальной. Итак, любое поле можно тривиально нормировать.

7.1.2. Пусть А — любое линейно упорядоченное поле и . Полагаем

Система является нормированным полем. Норму называют естественной. Итак: любое линейно упорядоченное поле допускает естественное нормирование.

7.1.3. Пусть Q — поле рациональных чисел, — простое число и — рациональное число с условием Определим функцию следующим образом. Пусть a — какое-либо не равное нулю рациональное число. Представляем а в виде

где а и b — целые, взаимно-простые с числа и — целое число.

Нетрудно проверить, что число определяется однозначно.

Полагаем

Пусть теперь Имеем

Отсюда следует, что

и

Итак, система — нормированное поле. Норму называют -адической. Полезно заметить, что -адическая норма удовлетворяет условию

(7.1.1)

7.1.4. Пусть — поле рациональных функций над полем рациональных чисел — рациональное число, большее единицы. Если , то а можно представить в виде

где — многочлены над полем Q степеней соответственно, Мы полагаем, что

Нетрудно убедиться, что система — нормированное поле.

Теорема 7.1.1. Если — нормированное поле,

Доказательство. Имеем

Так как уравнение второй степени над любым полем имеет не более двух корней, то или . Второе исключено.

Далее имеем

Рассуждая аналогично, получим . Остальные утверждения очевидны.

Вопросы: 7.1.1. Пусть . Полагаем где Показать, что система — нормированное поле.

7.1.2. Пусть — -адическая норма примера 7.1.3 и а — любое положительное число. Показать, что — нормированное поле.

7.1.3. Норму v поля Р относительно поля действительных чисел называют неархимедовой, если для любого натурального Показать, что норма v поля Р является неархимедовой тогда и только тогда, если

Справедлива теорема Островского: пусть Q — поле рациональных чисел, R — поле действительных чисел и — нормированное поле. Тогда v либо тривиальная норма, либо норма вопросов 7.1.1 и 7.1.2.