Главная > Числовые системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЯХ

7.1. Нормированные поля

Определение 7.1.1. Пусть — поле, линейно упорядоченное поле; v — однозначное отображение А в Р. Систему короче , называют нормированным полем, если выполняются 3 следующих условия:

Вместо того чтобы сказать: система — нормированное поле, говорят также: А — нормированное относительно линейно упорядоченного поля Р с нормой v поле.

Примеры: 7.1.1. Пусть А — любое поле, Р — любое линейно упорядоченное поле. Полагаем:

Нетрудно проверить, что система — нормированное поле. Норму v, определенную указанным выше способом, называют тривиальной. Итак, любое поле можно тривиально нормировать.

7.1.2. Пусть А — любое линейно упорядоченное поле и . Полагаем

Система является нормированным полем. Норму называют естественной. Итак: любое линейно упорядоченное поле допускает естественное нормирование.

7.1.3. Пусть Q — поле рациональных чисел, простое число и рациональное число с условием Определим функцию следующим образом. Пусть a — какое-либо не равное нулю рациональное число. Представляем а в виде

где а и b — целые, взаимно-простые с числа и целое число.

Нетрудно проверить, что число определяется однозначно.

Полагаем

Пусть теперь Имеем

Отсюда следует, что

и

Итак, система — нормированное поле. Норму называют -адической. Полезно заметить, что -адическая норма удовлетворяет условию

(7.1.1)

7.1.4. Пусть — поле рациональных функций над полем рациональных чисел рациональное число, большее единицы. Если , то а можно представить в виде

где — многочлены над полем Q степеней соответственно, Мы полагаем, что

Нетрудно убедиться, что система — нормированное поле.

Теорема 7.1.1. Если — нормированное поле,

Доказательство. Имеем

Так как уравнение второй степени над любым полем имеет не более двух корней, то или . Второе исключено.

Далее имеем

Рассуждая аналогично, получим . Остальные утверждения очевидны.

Вопросы: 7.1.1. Пусть . Полагаем где Показать, что система — нормированное поле.

7.1.2. Пусть -адическая норма примера 7.1.3 и а — любое положительное число. Показать, что — нормированное поле.

7.1.3. Норму v поля Р относительно поля действительных чисел называют неархимедовой, если для любого натурального Показать, что норма v поля Р является неархимедовой тогда и только тогда, если

Справедлива теорема Островского: пусть Q — поле рациональных чисел, R — поле действительных чисел и — нормированное поле. Тогда v либо тривиальная норма, либо норма вопросов 7.1.1 и 7.1.2.

1
Оглавление
email@scask.ru