4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий

Чтобы доказать независимость аксиомы индукции от других аксиом, достаточно указать такую интерпретацию нашей теории из объектов непротиворечивой теории, на которой аксиомы выполняются, а аксиома — нет. Такую интерпретацию, и даже несколько, мы построим, предполагая, что аксиоматическая теория натуральных, а также рациональных чисел непротиворечива.

В связи с тем, что при построении других числовых систем независимость аксиомы индукции нигде не используется, ссылка на утверждения, доказываемые позднее, не приведет к появлению порочного круга.

Первая интерпретация . За примем множество

за единицу — пару (1,1), сложение и умножение на определим так:

Легко проверить, что для интерпретации выполняются первые шесть аксиом содержательной теории натуральных чисел. Пусть далее

Имеем:

Вместе с тем так как, например, . Итак, аксиома на интерпретации не выполняется.

Предположим, что в интерпретации определено транзитивное, антирефлексивное, связное и монотонное относительно обеих операций бинарное отношение Тогда или . В первом случае имеем:

и

В силу транзитивности отсюда получим что невозможно. Аналогично опровергается и второе допущение.

Из этих рассуждений следует, что теорию неравенств нельзя обосновать без аксиомы индукции.

Вторая интерпретация . За примем множество

за единицу — числю сложение и умножение определяем условиями:

Легко видеть, что если а или Р целое число, то

Вместе с тем

Нетрудно проверить выполнение аксиом . Аксиома не выполняется на . В самом деле, пусть Имеем:

Заметим, что в интерпретации ассоциативность и дистрибутивность умножения не имеют места, так как:

Третья интерпретация За примем множество пар целых чисел

За единицу — пару (1,0), а операции определяем так:

Можно проверить, что на выполняются аксиомы но не . Вместе с тем на не имеют места коммутативность сложения и умножения, ассоциативность сложения и дистрибутивность умножения.

Из существования моделей следует, что известные свойства арифметических действий не могут быть обоснованы без аксиомы индукции.

Четвертая интерпретация . За примем множество чисел вида

За единицу примем число операции определим так:

Легко видеть, что — полукольцо и

Таким образом, аксиомы на выполняются, а аксио как легко проверить, — нет.

Интересно отметить, что на нет простых чисел. Пусть . Тогда

Известно (вопрос 4.6.7), что

Поэтому

Таким образом, любой элемент можно разложить в произведение двух отличных от единицы множителей.

Пятая интерпретация Полагаем

За единицу примем элемент (1,1). Аксиомы на выполняются, но не есть неразложимые (простые) элементы. Такими будут (2, 5), (3, 7), (2, 3), (5, 7). Имеем

Итак, на нет однозначности разложения на простые множители. Из существования моделей следует, таким образом, что и теорию делимости в системе натуральных чисел нельзя обосновать без аксиомы индукции.

Вопрос 4.9.1. Доказать независимость каждой из аксиом аксиоматической теории, первичными терминами которой являются множество N (натуральных чисел), два тернарных отношения в нем (сложение и умножение) и одно унарное — множество В (множество единиц), а аксиомы формулируются так:

7) Каково бы ни было подмножество множества N, если выполняются условия: