2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции

Определение 2.2.1. Пусть (значений , отличных от 1, 2 или 3, нам не потребуется); — какие-либо множества. Всякое подмножество со прямого произведения если если если называют -членным отношением, заданным во множествах а число — рангом отношения . В частности, если то отношение называют отношением, заданным во множестве А.

Отношения ранга 1, 2, 3 называют соответственно унарным, Вместо термина «бинарное отношение» часто употребляют термин «отношение».

Пусть ( — отношение, заданное во множествах или 2). Тогда, каковы бы ни были элементы символом

(2.2.1)

в частности символом

при обозначают множество, состоящее из тех и только тех элементов множества Для которых кортеж . Очевидно, в зависимости от отношения со и элементов символ (2.2.1) может обозначать пустое множество или множество, состоящее из одного и более элементов. В частности, если и, каковы бы ни были элементы , множество (2.2.1) (соответственно (2.2.2) при не пусто и состоит из одного элемента, то -членное отношение называют также -арной алгебраической операцией, заданной на множестве , а число — рангом операции .

В случае, если при тех же предположениях о множествах А? и элементах а? множество (2.2.1) состоит не более чем из одного элемента, -членное отношение называют также -арной частичной алгебраической операцией, заданной во множестве .

Алгебраическую операцию ранга 0, 1 и 2 называют соответственно нульарной, унарной и бинарной. Вместо термина «бинарная алгебраическая операция» употребляют также термины «алгебраическая операция» и «закон композиции». Унарную алгебраическую операцию называют также оператором.

Из сказанного выше следует, что любое подмножество можно рассматривать как унарное отношение, заданное в а подмножество , состоящее из одного элемента, и как нульарнуюалгебраическую операцию на .

В случае, если — бинарное отношение, заданное в , запись

означает то же, что

Для обозначения бинарного отношения употребляют символы:

В случае, если — тернарное отношение, заданное в , запись

(2.2.3)

означает то же, что

Другими словами, символ (2.2.3) обозначает множество всех таких элементов с из , для которых тройка входит в .

Чтобы задать тернарное отношение на множестве , можно указать все тройки элементов, принадлежащие , а можно поступать иначе: для каждой пары (а, b) элементов множества указывать множество т. е. множество таких элементов с, что

Имея в виду сказанное выше, мы при задании тернарного отношения со в каком-либо множестве A будем говорить: «Сопоставим с каждой парой (а, b) элементов множества элемент такой, что...»

Из этой фразы вовсе не следует ни что такой х (т. е. с условием...) найдется, ни что, если найдется, то только один. Поэтому, если нашей целью является задание алгебраической операции со, мы должны еще убедиться в том, что, во-первых, хотя бы один с условием... существует и, во-вторых, что только один.

Примеры 2.2.1. , т. е. — множество пар натуральных чисел с условием, что — любое натуральное число. Легко видеть, что со Поэтому — бинарное отношение, заданное во множестве N. Заметим, что

другими словами, каковы бы ни были натуральные числа а и b, пара принадлежит множеству со (находится в отношении со) тогда и только тогда, если Итак, отношение «непосредственно следует за» — бинарное отношение в N. А так как для каждого натурального числа существует и только одно натуральное число b такое, что то это отношение является вместе с тем и унарной алгебраической операцией (оператором), определенной на множестве

2.2.2. другими словами, пара целых чисел принадлежит множеству со тогда и только тогда, если найдется целое число такое, что т. Множество определяет бинарное отношение в Z — отношение делимости. Если , то говорят, что число а делится на и употребляют обозначение . Отношение делимости не является унарной алгебраической операцией.

2.2.3. — множество всех простых чисел. Поэтому

Следовательно, свойство «быть простым» может рассматриваться как унарное отношение в

2.2.4. Вычитание — во множестве натуральных чисел — тернарное отношение. Множество а — b состоит из одного элемента или пусто в зависимости от того, а больше b или нет. Поэтому вычитание является вместе с тем бинарной частичной алгебраической операцией, заданной во множестве натуральных чисел.

Определение 2.2.2. Пусть — какие-либо множества и их подмножества, т. е.

Пусть - -членное отношение, заданное во множествах Тогда есть подмножество прямого произведения и, таким образом, является отношением, заданным во множествах Говорят, что отношение со индуцировано отношением со во множествах или во множестве А, если а отношение со называют продолжением отношения со во множествах или во множестве А, если

Примеры 2.2.5. Вычитание заданное во множестве целых чисел, продолжает вычитание заданное во множестве натуральных чисел. Этот пример также показывает, что, хотя продолжение некоторого отношения является алгебраической операцией, само отношение может и не быть таковой.

2.2.6. Отношение порядка (больше), заданное во множестве целых чисел, является продолжением порядка, заданного во множестве натуральных чисел.

2.2.7. Пусть Т — множество точек плоскости, Р — множество ее прямых. Отношение принадлежности точки прямой является бинарным отношением, заданным во множествах Т и Р.

2.2.8. Пусть Т — множество точек плоскости. Зададим тернарное отношение в Т следующим образом. Тройку точек плоскости отнесем к в случае, если С — середина отрезка АВ. Легко видеть, что — алгебраическая операция, заданная на множестве Т.

Определение 2.2.3. Бинарное отношение , заданное во множестве , называют:

а) связным, если

б) рефлексивным, если ;

в) антирефлексивным, если

г) симметричным, если

д) антисимметричным, если

е) асимметричным, если

ж) транзитивным, если

з) в случае, если на множестве задан сверх того закон композиции Т, бинарное отношение называют монотонным относительно закона если

Определение 2.2.4. Закон композиции Т элементов множества (т. е. бинарную операцию, заданную на ) называют:

а) коммутативным, если

б) ассоциативным, если

Пусть Т — закон композиции элементов множества А; элемент из называют нейтральным элементом относительно закона Т. если

Элемент а из А называют симметричным элементу а из относительно композиции Т с нейтральным элементом , если

Если на множестве А заданы два закона композиции и то говорят, что закон композиции Т дистрибутивен относительно закона , если

Законы композиции часто обозначают знаками или в первом случае композицию элементов а и b обозначают во втором или а законы композиции называют соответственно сложением и умножением; при этом говорят, что для закона композиции принято соответственно аддитивное и мультипликативное обозначение. При аддитивном и мультипликативном обозначении для записи композиции трех и более элементов необходимы скобки.

Вопросы: 2.2.1. Доказать, что всякое антирефлексивное и транзитивное отношение асимметрично.

2.2.2. Доказать, что бинарное отношение асимметрично тогда и только тогда, если оно антирефлексивно и антисимметрично.

2.2.3. Показать, что умножение на множестве матриц второго порядка с целыми элементами — некоммутативно.

2.2.4. Показать, что закон композиции примера 2.2.5 неассоциативен.

2.2.5. Является ли деление (см. определение 2.2.5) частичной алгебраической операцией во множестве натуральных, целых и рациональных чисел?

2.2.6. Сопоставим с каждой парой (а, b) положительных чисел степень Будет ли введенное нами бинарное отношение алгебраической операцией на множестве положительных чисел? Обладает ли эта операция свойствами коммутативности и ассоциативности?

Определение 2.2.5. Пусть на множестве А определена бинарная операция умножение; . Если существует и только один элемент такой, что

то элемент называют частным элементов b и а и этот элемент обозначают символом

Таблица терминов и обозначений, употребляемых в разных записях закона композиции (бинарной операции)

Сопоставляя с каждой парой элементов множества А их частное, мы определяем тернарное отношение, называемое делением. Вообще говоря, не для каждой пары элементов определено их частное. Частичную операцию «деление» называют операцией, обратной умножению.

В случае аддитивной записи бинарной операции употребляют соответственно термин разность, обозначение , а операцию, обратную сложению, называют вычитанием.

Если частичная операция деление (вычитание) выполнима для пары элементов , то говорят, что частное (разность b — а) имеет смысл.