4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы

Теорема 4.8.1. Пусть — полугруппа, а — однозначное отображение отрезка в А. Тогда существует и только одна функция

удовлетворяющая условиям:

Доказательство. Существование. Индукция по п. Пусть сначала . В таком случае

Полагаем, т. е. определяем, следующим образом:

Легко видеть, что функция удовлетворяет предъявленным требованиям.

Пусть теперь высказывание теоремы для некоторого натурального я верно.

Пусть а — какое-нибудь однозначное отображение отрезка в А. Отображение а индуцирует (вопрос ) однозначное отображение отрезка в А:

Поэтому существует функция удовлетворяющая условиям (4.8.1). Определим функцию следующим образом:

Легко проверить, что:

Однозначность доказывается индукцией по

Упражнение 4.8.1. Сформулировать теорему 4.8.1. в мультипликативном обозначении.

Определение 4.8.2. Пусть — полугруппа, а — какая-нибудь конечная последовательность элементов полугруппы — функция, удовлетворяющая условиям (4.8.1). Для каждого к под суммой к первых членов последовательности а мы понимаем т. е. значение функции при

Сумму к первых членов последовательности а принято обозначать символом

Таким образом, имеем:

В случае, если последовательность а стационарна и состоит из элементов, равных а, сумму ее k первых членов называют к-кратным элемента а полугруппы А и обозначают символом k а или если это не вызывает недоразумений.

Таким образом,

Упражнения: 4.8.2. Определить произведение конечного числа элементов полугруппы

4.8.3. Определить натуральную степень элемента а полугруппы

4.8.4. Пусть — кольцо матриц второго порядка с целыми элементами. Найти для любого элемента А из k-кратное

Вопросы: 4.8.1. Пусть — полугруппа, и — последовательность элементов А. Показать, что

4.8.2. Пусть — полугруппа и -последовательность элементов — натуральные числа с условием Показать, что

4.8.3. Пусть — коммутативная полугруппа, и — последовательности элементов А. Доказать, что

4.8.4. Пусть — коммутативная полугруппа и для каждого — последовательность элементов А. Доказать, что

4.8.5. Пусть — коммутативная полугруппа, — конечная последовательность полугруппы А, S — взаимно-однозначное отображение отрезка на себя

Доказать, что

4.8.6. Пусть — полугруппа; . Доказать, не пользуясь результатами вопросов 4.8.1. и 4.8.2, следующие свойства натуральных кратных:

4.8.7. Пусть — коммутативная полугруппа; . Доказать, не пользуясь результатом вопроса 4.8.3, что

4.8.8. Сформулировать утверждения — свойства конечных произведений и степеней элементов полугруппы с мультипликативным обозначением бинарной операции, соответствующие утверждениям вопросов 4.8.1-4.8.7,

4.8.9. Пусть — система с отношениями:

а) А — множество;

б) S — бинарное отношение;

в) 1 — единица — и аксиомами:

Всякое подмножество М множества А со свойствами!

совпадает с А.

Доказать, что — формулировка аксиоматической теории натуральных чисел (аксиоматика Пеано).

4.8.10. Пусть А и В — множества; а, b — функции:

Доказать, что существует и только одна функция с

удовлетворяющая условиям:

(4.8.2)

4.8.11. Пусть А и В — множества; — функции:

Доказать, что существует и только одна функция с

удовлетворяющая условиям:

4.8.12. Пусть — поле, В — непустое подмножество множества А, удовлетворяющее условиям:

Пусть далее а — конечная последовательность, члены которой удовлетворяют условиям:

Доказать, что существует и только одна функция

удовлетворяющая условиям:

4.8.13. Пусть — поле, — непустое подмножество множества А, удовлетворяющее условиям вопроса 4.8.12. Пусть а — последовательность, члены которой, кроме, быть может, принадлежат множеству . Доказать, что существует только одна функция

удовлетворяющая условиям:

Определение 4.8.3. Пусть а — последовательность вопроса 4.8.12 или 4.8.13. Цепной дробью последовательности называют выражение вида

если и выражений вида

если Для каждого в первом случае или для каждого во втором случае подходящей дробью последовательности а порядка называют , т. е. значение функции

Вопроса 4.8.12 в первом случае или вопроса 4.8.13 во втором случае при . Это значение обозначают символом

Легко видеть, что:

Отсюда следует, что

В связи с этим для обозначения подходящей дроби порядка цепной дроби пользуются и выражением

Иногда и термин «конечная цепная дробь порядка » служит для обозначения подходящей дроби порядка . Из контекста всегда ясно, когда этим термином обозначается выражение (4.8.3), а когда значение функции при .

Вопросы: 4.8.14. Пусть А и В — множества вопроса 4.8.12. и — конечные или бесконечные последовательности элементов множества А, все члены которых, кроме, быть может, принадлежат В.

Пусть далее п — натуральное число такое, что

Доказать, что

4.8.15. Пусть - последовательность вопроса 4.8.12 или 4.8.13. Доказать, что для любых натуральных их, если то

(4.8.4)