§ 1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Понятие числа является исходным для многих математических теорий, а задача построения основных числовых систем — одной из важнейших задач школьного курса математики.

В этой книге изучаются основные числовые системы — натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные числа, а также системы, естественным образом связанные с ними, — кватернионы и р-адические числа.

Мы ставим цель — выделить те простейшие свойства чисел, из которых можно строго вывести все то, что нам известно о числах.

Почему в математике принято заботиться, о строгости рассуждений?

Для любой науки главным является вопрос о соответствии ее с действительностью, вопрос об истинности ее суждений. Но способ установления истинности суждений специфичен для каждой научной дисциплины. В математике эта специфика реализуется в требовании строгости доказательств. Вот почему в математике проблема строгости математических рассуждений и вопросы обоснования всегда занимали и занимают важное место. Однако отчетливую формулировку задача обоснования математики и отдельных ее частей получила только в XIX в. Тогда же были сделаны серьезные попытки ее решения.

Возможно ли окончательное решение проблемы строгости математических рассуждений?

При строгом построении математической теории приходится опираться на другие теории и во всяком случае пользоваться теми или иными способами рассуждений, а также средствами передачи этих рассуждений.

Такие теории и способы рассуждений, а также средства передачи обычно явно или неявно предполагаются более надежными, чем та теория, которая строится. Надежность такой основы, очевидно, относительна, так как сразу возникает проблема обоснования используемых средств и т. д.

Таким образом, обоснование математической теории возможно только относительно тех теорий и средств, которые избираются в качестве «надежной» основы этого обоснования.

Надо заметить, что какой бы ни была «надежной» основа математической теории, наступает момент, когда «надежность» этой основы перестает удовлетворять математиков.

1.2. Каковы те вспомогательные средства, которые будут служить основой для построения числовых систем?

Это прежде всего язык. Он нам необходим, чтобы формулировать и обосновывать суждения, определять понятия. Мы не собираемся указывать полный состав языка и рассуждать на тему, возможно ли это вообще. Назовем лишь несколько терминов, о которых условимся, что смысл их не нуждается в каких-либо пояснениях:

«один», «два», «три», «первый», «второй», «левый», «правый», «символ», «обозначает», «существует», «все», «некоторые», «множество», «элемент множества», «высказывание».

Мы не рассматриваем возможность сведения некоторых из них к другим.

Далее логика. Это обычная классическая логика, та логика, на которой строится традиционный курс алгебры, анализа или теории чисел. От более точной характеристики нашей логики мы отказываемся.

Мы будем употреблять логические символы в их обычном смысле, что поясняется следующей сводкой обозначений:

1) — «конъюнкция»;

2) — «дизъюнкция»;

3) — «отрицание»;

4) — «следует»;

5) — «тогда и только тогда» или «если и только если»;

6) — «а — элемент множества »;

7) — «для всякого элемента а множества »;

8) — «каковы бы ни были элементы а и b множества ...»;

9) — «существуют такие элементы а и b множества

10) — «существует и только один элемент а множества такой, что...».

Мы полагаем, что не будем испытывать затруднений в выборе и использовании символов для обозначения рассматриваемых объектов. Мы считаем понятным различие между символом и его смыслом без каких-либо дополнительных пояснений. К примеру, в согласии с обычной практикой, вместо того чтобы сказать, что знаком обозначается некоторое натуральное число, мы говорим «n — натуральное число».

Идеальной была бы возможность иметь для каждого объекта теории свой символ. Эту возможность реализовать трудно, хотя бы из соображений краткости. Понятно, например, что множество из элемента а и сам этот элемент — разные объекты. Тем не менее в тех случаях, когда нам кажется, что недоразумения произойти не может, тот и другой объекты мы обозначаем одной буквой а.

Впрочем, если один и тот же знак встречается в различных ситуациях мы вправе этот знак наделять особым смыслом в каждой ситуации. Так, например, смысл знака в выражениях не один и тот же. Если (2, 3, 1) и (1, 0, 2) трехмерные векторы, то в записи смысл знака в левой части равенства отличается от смысла этого знака в правой.

Мы пользуемся обычной интуитивной теорией равенства, основанной на представлении, что знаком можно соединять лишь символы, обозначающие один и тот же объект.

При введении нового символа для обозначения какого-либо объекта мы будем употреблять знак («равно по определению»).

Чтобы избежать двусмысленности в записи выражений, будем употреблять скобки и считать известными соглашения об использовании скобок.

Отметим далее двоякую роль языка и логики в исследовании математической теории. Язык и логика необходимы не только для того, чтобы формулировать и выводить суждения теории, но и для того, чтобы высказывать и обосновывать суждения о самой теории. При более строгом подходе следовало бы отличать язык и логику, нужные для описания высказываний теории, от языка и логики, употребляемых для описания высказываний об этой теории. Такое различие мы не намерены проводить при изложении всех тем. Однако будут даны отдельные фрагменты математических теорий, где это отличие учитывается.

1.3. Мы будем предполагать известными элементы интуитивной теории множеств. В частности, мы будем пользоваться понятиями: пустое множество, подмножество, собственное подмножество, объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств.

Мы будем употреблять синонимы:

1) «множество», «совокупность», «класс»;

2) «подмножество», «часть множества»;

3) «собственное подмножество», «правильная часть множества». Мы будем пользоваться обозначениями:

— «пустое множество»;

2) — «А подмножество В»;

3) A U В — «объединение множеств А и B»;

4) — «объединение всех множеств таких, что »;

5) — «пересечение множеств »;

6) — «пересечение всех множеств таких, что ;

7) — «разность множеств »;

8) — «множество, состоящее из одного элемента а»;

9) — «множество, состоящее из элементов »;

10) — «множество, содержащее те и только те элементы а,

которые обладают свойством...».

Мы предполагаем известными следующие утверждения:

Если — любые множества, то:

Если А и В — любые множества и для каждого из символом обозначается некоторое множество, то:

Мы будем считать допустимыми такие способы образования множеств:

1.3.21. Из множества объектов можно выделить часть посредством точно сформулированного признака.

1.3.22. Если имеется совокупность множеств, то можно получить новое множество, являющееся объединением множеств этой совокупности.

1.3.23. Для каждого множества можно образовать множество всех его подмножеств.

1.3.24. Для любой пары множеств можно образовать новое множество, являющееся их произведением (определение 2.1.2).

1.4. Другие математические теории (алгебра, анализ, теория чисел, геометрия, ) не используются нами при построении числовых систем. Ряд фактов из этих теорий иногда привлекаются нами только в качестве примеров для иллюстрации некоторых высказываний.

Исключение составляют отдельные свойства групп, колец и полей, которые дальше все будут точно указаны, а также простейшие теоремы линейной алгебры, доказательства которых воспроизвести нетрудно.

Впрочем, после завершения построения какой-либо числовой системы мы вправе пользоваться теми фрагментами любых математических теорий, которые опираются на соответствующую систему.

Основной текст почти каждого пункта сопровождают упражнения, примеры и вопросы. Они выполняют двоякую роль. Прежде всего они иллюстрируют, поясняют общие положения соответствующего раздела. В связи с этим в них может использоваться материал, относящийся к другим разделам. С другой стороны, в них иногда содержатся высказывания, на которые опираются высказывания, принадлежащие другим последующим разделам. В последнем случае эти утверждения являются, по существу, теоремами другого раздела, и поэтому там могут быть использованы. В том, что тут нет какого-либо порочного круга, легко убедиться в каждом конкретном случае отдельно.

В заключение следует отметить, что конструкции, используемые нами при исследовании числовых систем, применяются в различных отделах математики, например в алгебре, теории чисел и анализе.

В изложении мы исходим из того, что нет необходимости давать подробное доказательство каждой сформулированной теоремы. Мы опускаем детали рассуждений всякий раз, когда читатель подготовлен к этому предшествующим материалом.

Для решения наиболее трудных вопросов в конце книги даны указания или достаточно подробные разъяснения. Во многих случаях решение одного вопроса указывает путь для решения следующего.