4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел

Теорема 4.10.1. Аксиоматическая теория натуральных чисел категорична.

Доказательство. В предположении, что аксиоматическая теория натуральных чисел непротиворечива, докажем, что любые две модели изоморфны. Пусть — две модели нашей теории. Операции в этих моделях мы обозначаем разными символами, любой элемент множества снабжаем индексом 1, а любой элемент — индексом 2. Мы намереваемся определить изоморфное отображение одной системы на вторую.

Докажем, что существует взаимно-однозначное отображение множества на обладающее свойствами:

(4.10.1)

Из теоремы 4.8.1. следует, что для любого натурального существует однозначная функция отображение отрезка и притом только одно, удовлетворяющее условиям:

Пусть теперь . Выберем любое с условием и положим

Этим условием определяется однозначное отображение . В самом деле, если то в силу теоремы 4.8.1 значения функций совпадают на отрезке

Проверим, что условия (4.10.1) для отображения выполняются. Имеем:

Покажем, что — взаимно-однозначное отображение Другими словами:

(4.10.2)

Проверим, что условие (4.10.2) выполняется, если . В самом деле, если , то

Имеем

Пусть для некоторого из условие (4.10.2) выполнено. Пусть но

(4.10.3)

Имеем

Поэтому

и, следовательно, . Таким образом,

Имеем

В силу (4.10.3) получим По аксиоме по предположению. Таким образом,

в противоречие с условием. Наше утверждение следует из аксиомы

Покажем далее, что — взаимно-однозначное отображение на

Прежде всего имеем

Если то . По аксиоме получим, что

Осталось показать, что

Прежде всего имеем

Пусть

Тогда получим

Отсюда но аксиоме получаем первое равенство. Столь же легко получается и второе.

Вопросы: 4.10.1. Доказать, что в системе натуральных чисел:

а) существует бесконечно много подполугрупп, изоморфных полугруппе натуральных чисел;

б) существует и только одно подпол у кольцо, изоморфное полукольцу натуральных чисел.

4.10.2. Пусть — тело характеристики нуль; другими словами,

для любого натурального , и пусть М — множество всех натуральных кратных единице тела Т. Доказать, что система есть система натуральных чисел.

4.10.3. Доказать, что всякое тело характеристики нуль содержит и только одно подполукольцо натуральных чисел.

4.10.4. Пусть — тело характеристики нуль, — система натуральных чисел. Доказать, что:

Пусть — полукольцо, изоморфное полукольцу натуральных чисел и пусть — изоморфное отображение полукольца на полукольцо . Легко видеть, что вместе с тем есть изоморфное отображение системы натуральных чисел на систему . В соответствии с этим говорят, что всякое полукольцо, изоморфное полукольцу натуральных чисел, само является полукольцом натуральных чисел.