Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9.5. Алгебры конечного рангаОпределение 9.5.1. Пусть А Примеры: 9.5.1. Всякое поле Р — алгебра с делением ранга 1 над полем Р. Более точно под этим понимается следующее: пусть Тогда алгебра 9.5.2. Поле комплексных чисел — алгебра с делением ранга 2 над полем действительных чисел. 9.5.3. Поле примера 2.6.23 — алгебра с делением ранга 3 над полем действительных чисел. 9.5.4. Алгебра примера 2.7.3 — алгебра конечного ранга 9.5.5. Рассмотрим тело вопроса 2.6.21. Определим для элементов этого тела умножение на действительные числа, как в примере 2.7.2. В результате мы получим алгебру К с делением ранга 4 над полем действительных чисел. Всякую алгебру, изоморфную алгебре К, называют алгеброй кватернионов. Легко видеть, что всякий кватернион
где
Следует заметить, что таблица умножения элементов
Легко проверить, что таблица умножения элементов 1) 2) 3) Теорема 9.5.1. Если А — алгебра ранга Доказательство. Пусть
Поскольку в матрице
число строк больше числа столбцов, то утверждение теоремы сразу следует из известной теоремы линейной алгебры. В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать ассоциативные алгебры с делением. Всякая такая алгебра А над полем Р содержит поле, изоморфное Р (вопрос 2.7.3). В связи с этим будем дальше предполагать, что само поле Р является подполем алгебры А. Нетрудно заметить, что такое предположение в худшем случае равносильно изменению обозначений унарных алгебраических операций алгебры А. Теорема 9.5.2. Пусть А — алгебра ранга Доказательство. В самом деле, по теореме 9.5.1 элементы
линейно зависимы над полем Р. Отсюда прямо следует утверждение теоремы. Теорема 9.5.3. Над полем С комплексных чисел нет других алгебр с делением конечного ранга, кроме самого поля С. Доказательство. Пусть
линейных над С сомножителей. Заменяя в равенстве
Так как алгебра А делителей нуля не имеет, то хотя бы один из сомножителей равен нулю. Отсюда и следует наше утверждение. Вопросы: 9.5.1. Пусть Р — подполе поля А и пусть каждый элемент поля А — корень неприводимого над полем Р многочлена. Доказать, что всякое изоморфное отображение поля Р в поле комплексных чисел С можно продолжить до изоморфизма поля А в поле Р. 9.5.2. Пусть поле А — расширение поля рациональных чисел Q и пусть базис трансцендентности поля А относительно поля Q — континуальное множество. Доказать, что существует изоморфное отображение поля А в поле комплексных чисел. 9.5.3. Доказать, что для всякого поля
|
1 |
Оглавление
|