9.5. Алгебры конечного ранга

Определение 9.5.1. Пусть А -линейная алгебра над полем Р. Алгебру А называют алгеброй ранга над полем Р, если алгебра — -мерное векторное пространство над полем Р. Базисом алгебры А называют базис пространства .

Примеры: 9.5.1. Всякое поле Р — алгебра с делением ранга 1 над полем Р.

Более точно под этим понимается следующее: пусть - поле и пусть для каждого а из Р оператор умножения на элемент k из Р определен соглашением .

Тогда алгебра — линейная алгебра с делением ранга 1 над полем Р.

9.5.2. Поле комплексных чисел — алгебра с делением ранга 2 над полем действительных чисел.

9.5.3. Поле примера 2.6.23 — алгебра с делением ранга 3 над полем действительных чисел.

9.5.4. Алгебра примера 2.7.3 — алгебра конечного ранга над полем

9.5.5. Рассмотрим тело вопроса 2.6.21. Определим для элементов этого тела умножение на действительные числа, как в примере 2.7.2. В результате мы получим алгебру К с делением ранга 4 над полем действительных чисел. Всякую алгебру, изоморфную алгебре К, называют алгеброй кватернионов. Легко видеть, что всякий кватернион можно представить в виде

где

Следует заметить, что таблица умножения элементов имеет вид:

Легко проверить, что таблица умножения элементов определяется условиями:

1) — единица алгебры К;

2)

3)

Теорема 9.5.1. Если А — алгебра ранга над полем Р, то любые элементов алгебры А линейно зависимы над полем Р.

Доказательство. Пусть — базис алгебры А над полем Р; — элементы А. Тогда в поле Р можно найти элементы такие, что:

Поскольку в матрице

число строк больше числа столбцов, то утверждение теоремы сразу следует из известной теоремы линейной алгебры.

В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать ассоциативные алгебры с делением. Всякая такая алгебра А над полем Р содержит поле, изоморфное Р (вопрос 2.7.3). В связи с этим будем дальше предполагать, что само поле Р является подполем алгебры А. Нетрудно заметить, что такое предположение в худшем случае равносильно изменению обозначений унарных алгебраических операций алгебры А.

Теорема 9.5.2. Пусть А — алгебра ранга над полем Р. Тогда любой элемент а алгебры А — корень многочлена степени не выше над полем Р.

Доказательство. В самом деле, по теореме 9.5.1 элементы

линейно зависимы над полем Р. Отсюда прямо следует утверждение теоремы.

Теорема 9.5.3. Над полем С комплексных чисел нет других алгебр с делением конечного ранга, кроме самого поля С.

Доказательство. Пусть алгебра с делением ранга над полем комплексных чисел С. Докажем, что любой ее элемент а принадлежит С. По теореме 9.5.2 элемент а — корень многочлена над полем С. По теореме 9.2.4 многочлен можно разложить в произведение

(9.5.1)

линейных над С сомножителей. Заменяя в равенстве на а, что возможно (вопрос 2.6.13), получим

Так как алгебра А делителей нуля не имеет, то хотя бы один из сомножителей равен нулю. Отсюда и следует наше утверждение.

Вопросы: 9.5.1. Пусть Р — подполе поля А и пусть каждый элемент поля А — корень неприводимого над полем Р многочлена. Доказать, что всякое изоморфное отображение поля Р в поле комплексных чисел С можно продолжить до изоморфизма поля А в поле Р.

9.5.2. Пусть поле А — расширение поля рациональных чисел Q и пусть базис трансцендентности поля А относительно поля Q — континуальное множество. Доказать, что существует изоморфное отображение поля А в поле комплексных чисел.

9.5.3. Доказать, что для всякого поля -адических чисел существует изоморфное отображение поля в поле комплексных чисел.