5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела

Для линейно упорядоченного кольца система — линейно упорядоченная группа. Отсюда легко следует, что порядок либо строгий, либо нестрогий. Во множестве Л можно ввести (вопросы 5.1.3 и 5.1.4) новый линейный порядок который будет строгим, если порядок нестрогий, и — нестрогим, если порядок строгий. Легко проверить, что система как и система А, является линейно упорядоченным кольцом.

В связи с этим замечанием в линейно упорядоченном кольце А обычно рассматривают два бинарных отношения порядка, одно из которых — строгое — обозначают знаком а второе — нестрогое — знаком Итак, в линейно упорядоченном кольце А:

Из сказанного следует, что в данном кольце можно ввести линейный порядок тогда и только если в нем можно ввести линейный и строгий порядок.

Для дальнейшего полезно напомнить, что в линейно упорядоченном кольце (вопрос 5.2.9) элемент а положителен тогда и только тогда, если

Теорема 5.4.1. Пусть система — линейно упорядоченное кольцо. Тогда для любого элемента а из A либо либо либо —

Доказательство этой теоремы, как и следующей, несложно. Следует только подчеркнуть, что знак обозначает отношение строгого порядка.

Теорема 5.4.2. Сумма и произведение положительных элементов линейно упорядоченного кольца положительны.

Теорема 5.4.3. Линейно упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля.

Доказательство. В самом деле, если а и b — не равные нулю элементы упорядоченного кольца, то возможны только следующие случаи:

Отсюда следует, что либо либо

Теорема 5.4.4. В линейно упорядоченном кольце квадрат любого не равного нулю элемента положителен.

Доказательство. Если то Если то

Эту теорему полезно сформулировать и так: в любом линейном порядке кольца квадрат его не равного нулю элемента положителен.

Теорема 5.4.5. В линейно упорядоченном кольце сумма квадратов его не равных нулю элементов не равна нулю.

Теорема 5.4.6. В линейно упорядоченном теле

Теорема 5.4.7. Если — линейно упорядоченное тело, то:

Теорема 5.4.8. Если — линейно упорядоченное тело, — система натуральных чисел, то

Теорема 5.4.9. Если — архимедовски линейно упорядоченное тело, — система натуральных чисел, то

Доказательство. Имеем Поэтому Далее находим натуральное m такое, что Легко видеть, что

Пусть теперь k — целое такое, что . Тогда Выбираем наименьшее натуральное с условием Неравенства

в силу теоремы 5.2.9 невозможны. Поэтому

Определение 5.4.1. Пусть - линейно упорядоченное кольцо; а — элемент системы А. Абсолютным значением элемента а называют

Обозначение.

Замечание. Поскольку кольцо, вообще говоря, может быть линейно упорядочено несколькими способами, абсолютное значение элемента зависит не только от элемента, но и от порядка в кольце.

Теорема 5.4.10. Пусть — линейно упорядоченное кольцо. Тогда:

Доказательство. Соотношения 1—4 прямо следуют из определения. Далее имеем

Аналогично: Отсюда получим

Легко доказать и другие соотношения.

Теорема 5.4.11. (критерий порядка). Кольцо тогда и только тогда можно линейно и строго упорядочить (т. е. ввести линейный к строгий порядок), если множество А имеет подмножество удовлетворяющее условиям:

Доказательство. Пусть сначала — линейно упорядоченное кольцо. В роли искомого подмножества в таком случае в силу теорем 5.4.1 и 5.4.2 может выступить множество положительных элементов системы А.

Пусть теперь — подмножество кольца , удовлетворяющее условиям теоремы. Попробуем ввести линейный порядок кольце . Определим это отношение так:

Без особых затруднений можно проверить, что введенное нами отношение связно, антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно, монотонно относительно сложения и умножения на любой элемент из

Множество с упомянутыми в условии теоремы 5.4.11 свойствами называют положительной частью кольца . В дальнейшем при введении порядка в каком-нибудь кольце мы будем искать в нем «положительную часть». Если такая часть в кольце существует, то кольцо можно упорядочить, если нет, то нельзя, если таких несовпадающих положительных частей несколько, то — несколькими способами.

Из сказанного следует, что при определении линейно упорядоченного кольца в качестве основного отношения вместо бинарного отношения можно брать унарное отношение «положительная часть».

Теорема 5.4.12 (критерий однозначности линейного порядка). Пусть — положительные части кольца .

Тогда

Доказательство. Пусть . В таком случае Поэтому либо — Во втором случае немедленно получим — . Но этого не может быть, так как уже

Теорема 5.4.13 (критерий продолжения порядка). Пусть — линейно упорядоченные кольца и — подкольцо кольца Пусть — множество положительных элементов системы — системы Порядок тогда и только тогда продолжает порядок если

Доказательство. Пусть . Если , то . Отсюда следует, что . Пусть . Тогда . Если , то — и, следовательно, — Но этого нет.

Пример 5.4.1 (некоммутативное линейно упорядоченное тело). Пусть Q — поле рациональных чисел. Выделим в теле примера 2.6.7 подмножество, состоящее из формальных рядов вида

с условием Легко видеть, что это подмножество — положительная часть данного тела.

Пример 5.4.2 (поле с не единственным архимедовым линейным порядком). Пусть — система действительных чисел. Рассмотрим подмножество М множества R, состоящее из чисел вида

где а и b — любые рациональные числа. Можно проверить, что — поле (вопрос 2.6.3). Полагаем:

Легко видеть, что и — положительные части поля . А между тем они не совпадают. В архимедовости порядков, определяемых с помощью этих частей, убедиться нетрудно.

Пример 5.4.3 (поле с неархимедовым линейным порядком). Рассмотрим поле рациональных функций над полем рациональных чисел (вопрос 2.10.1). Каждый не равный нулю элемент этого поля представим в виде

где — рациональные числа, — неотрицательные числа,

Обозначим через множество, определяемое условием

Легко проверить, что — положительная часть поля . Порядок в поле соответствующий этой положительной части, неархимедов. В самом деле, для любого натурального числа

Однако порядок в поле можно ввести многими способами. Пусть — множество, определяемое условием

Легко проверить, что и — положительная часть поля . Пусть теперь — множество, определяемое условием:

Если воспользоваться трансцендентностью числа то нетрудно показать, что и — положительная часть поля Порядок, определяемый — архимедов.

Пример 5.4.4 (числовое поле, содержащее мнимые числа, с архимедовым линейным порядком). Пусть — поле комплексных чисел и — мнимый корень уравнения Тогда — поле (вопрос 2.6.23). Поле изоморфно полю (вопрос 2.8.9). Но поле , как подполе поля действительных чисел, можно упорядочить. Его порядок индуцируется порядком в поле действительных чисел. Изоморфизм поля на поле позволяет ввести в поле порядок, наведенный порядком системы

В этом порядке, например:

Вопросы: 5.4.1. Доказать, что поле примера 5.4.2 можно упорядочить и только двумя способами.

5.4.2. Пусть — упорядоченное кольцо, а — положительный элемент этого кольца. Доказать, что