§ 2. СИСТЕМЫ С ОТНОШЕНИЯМИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Система натуральных чисел будет рассматриваться в § 4. Поэтому понятием произвольного натурального числа без каких-либо ограничений можно пользоваться только в разделах, следующих за § 4. В настоящем параграфе мы, однако, вводим понятие -членного отношения и -арной алгебраической операции. Это не противоречит сказанному выше, так как в § 4 мы не рассматриваем отношения, отличные от унарных, бинарных и тернарных.

В настоящем параграфе вводятся термины конечная группа, конечная полугруппа, конечное кольцо; следует в связи с этим заметить, что эти термины мы собираемся употреблять только тогда, когда понятие конечного множества будет определено.

2.1. Прямое произведение

Определение 2.1.1. Пусть а и b — какие-нибудь предметы, множество называют парой элементов а и b и обозначают символом

Таким образом,

Элемент а называют первым (левым) компонентом пары элемент b — вторым (правым).

Легко видеть, что

Иногда множество называют неупорядоченной парой элементов а и b, а пару — упорядоченной парой элементов а и b.

Пример 2.1.1. , но .

Пару называют тройкой или кортежем из элементов и обозначают символом . Так можно продолжать и далее. Саму пару называют также кортежем из элементов а, b, а элемент а называют кортежем из одного элемента а.

Определение 2.1.2. Пусть А и В — какие-нибудь не обязательно различные множества. Произведением множеств А и В называют множество всех пар , где , и обозначают символом А X В.

Таким образом,

При этом

Наряду с термином «произведение множеств» в литературе приняты термины «прямое произведение множеств» и «декартово произведение множеств».

Упражнения: 2.1.1. Найти прямое произведение {1, 2} х {а, b, с}.

2.1.2. Найти прямое произведение {1, 2, 3} x {1,2,3}. Определение 2.1.3. Пусть А, В, С, D — любые множества.

Полагаем:

Определение 2.1.4. Пусть А — любое множество. Полагаем . Множества называют соответственно нулевой, первой, второй и третьей степенью множества А.

Вопросы: 2.1.1. Доказать, что в том и только в том случае, если или если

2.1.2. Доказать, что в том и только том случае, если хотя бы одно из множеств А, В, С пусто.

2.1.3. Доказать, что для любых множеств

2.1.4. Какие из равенств вопроса 2.1.3. остаются верными после замены знака на U?