4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы

Мы заметили, что непротиворечивость неформальной (содержательной) аксиоматической теории можно установить, только указав какую-нибудь модель из объектов теории, непротиворечивость которой уже доказана, но для аксиоматической теории натуральных чисел такой модели нет.

В связи с этим рассматривают проблему непротиворечивости формальной аксиоматической теории натуральных чисел.

В 1931 г. К. Гедель доказал, что непротиворечивость формальной аксиоматической теории натуральных чисел не может быть обоснована средствами той же теории. Он также доказал, что всякая формальная аксиоматическая теория, включающая арифметику натуральных чисел, неполна. Отсюда следует, что формальная арифметика некатегорична. На первый взгляд этот результат противоречит теореме 4.10.1. Однако формальную и содержательную арифметику нельзя отождествить. Между ними есть по крайней мере одно существенное отличие, связанное с аксиомой индукции. С каждой формулой формальной арифметики сопоставим множество тех натуральных чисел, для которых данная формула истинна.

При этом толковании аксиома индукции в содержательной и формальной арифметике позволяет установить, если выполняются определенные условия, что данным свойством — принадлежности к некоторому множеству — обладают все натуральные числа. В содержательной арифметике рассматриваются любые их свойства без каких-либо ограничений. В формальной — лишь свойства, связанные с формулами этой теории. А это не одно и то же.

Из теоремы Геделя следует, что возможен только один путь доказательства непротиворечивости формальной арифметики — путь, основанный на использовании в таком доказательстве средств, не формализуемых в самой теории, но тем не менее достаточно надежных. В 1936 г. Г. Генцен получил доказательство непротиворечивости формальной арифметики. В этом доказательстве используются средства, не формализуемые в самой теории.

Непротиворечивость аксиоматических теорий других числовых систем доказывается построением модели в рамках теории, непротиворечивость которой предполагается известной, или в рамках теории, предполагаемой непротиворечивой. Так непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел может быть сведена к непротиворечивости аксиоматической теории натуральных чисел и так далее. В каждом случае исходят из некоторого бесконечного множества объектов непротиворечивой теории и средствами интуитивной теории множеств завершают построение соответствующей модели. Такого рода подход к обоснованию числовых систем был разработан в XIX в.

Понятие бесконечности вошло в математику очень давно, с ним связаны многие достижения этой науки. Однако неосмотрительное применение к бесконечным совокупностям способов рассуждений, безотказно работающих в конечных областях, может быть причиной неожиданных неприятностей. На рубеже XIX и XX вв. в связи с обнаруженными в теории множеств парадоксами очень острым стал вопрос, какие способы рассуждений допустимы в математике. Возникшие при решении этого вопроса трудности нельзя считать преодоленными.