4.5. Порядок во множестве натуральных чисел

Теорема 4.5.1. .

Доказательство. Обозначим через подмножества N вида

и докажем, что

Имеем:

а)

б) если , то так как а

Этот вывод можно сделать, даже не воспользовавшись предположением, что

Теорема 4.5.2.

Доказательство. Фиксируем натуральное число b и через обозначаем подмножество N вида

Имеем:

а) по аксиоме

б) докажем, что из

Предположим, что

Тогда

и по аксиоме

т. е.

Теорема 4.5.3. Для любой пары натуральных чисел а, b имеет место и только одно из следующих утверждений:

Доказательство. Несовместность любых двух утверждений следует из теоремы 4.5.2.

Фиксируем натуральное число а и через обозначаем подмножества N вида:

Полагаем

Докажем, что

Имеем: а) , так как , если по теореме 4.5.1, если

б) докажем, что из следует . Если то и поэтому

Если , то для некоторого ; поэтому

Если , то для некоторого поэтому или (в зависимости от того или ).

Определение 4.5.1. Для натуральных чисел а и b говорят «а больше b» или «b меньше а» и употребляют запись

если и только если . Для натуральных чисел а и b говорят «а больше или равно b» или «b меньше или равно а и употребляют запись

если и только если

В случае, если употребляют для краткости запись

Аналогичное соглашение устанавливается для других записей подобного типа.

Определение 4.5.2. Отрезком натурального ряда с концами а и b для любых натуральных чисел а и b называют множество

и обозначают символом в частности, при отрезок [1, b] называют начальным отрезком натурального ряда.

Определение 4.5.3. Натуральное число называют наименьшим. (наибольшим) элементом множества если

и

(соответственно )

Определение 4.5.4. Множество называют ограниченным, если

Вопросы: 4.5.1. Показать, что:

4.5.2. Показать, что