4.4. Свойства умножения
Теорема 4.4.1. 
.
Следует из аксиом 
и теоремы 4.3.1.
Из доказанной теоремы вытекает, что множество 
не пусто и состоит из одного элемента. Естественно в дальнейшем символом а 
обозначать указанный элемент.
Из теоремы 4.4.1 и аксиомы 
следует, что:
Теорема 4.4.2. 
Доказательство. Фиксируем натуральные числа а, b и обозначим через 
подмножество N вида
Далее, пользуясь аксиомами 
и доказанными [теоремами, получим, что
Теорема 4.4.3. 
Легко следует из равенств:
Теорема 4.4.4. 
Теорема 4.4.5. 
Легко следует из равенства
Таким образом, сложение и умножение — алгебраические операции на N, а система 
— коммутативное полукольцо. Обозначения:
Вопрос 4.4.1. Доказать, что:
