8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел

Теорема 8.5.1. Аксиоматическая теория действительных чисел непротиворечива относительно аксиоматической теории рациональных чисел.

Доказательство. Мы построим модель, на которой выполняются все 18 аксиом нашей теории.

1) Пусть F — множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Если , то полагаем:

В силу теорем 7.3.4 и 7.3.16 введенные отношения — бинарные алгебраические операции на F. Без труда проверяется, что система — коммутативное кольцо с единицей.

2) В силу теоремы 7.3.7 бинарное отношение, введенное определением 7.2.4, является отношением эквивалентности во множестве всех последовательностей рациональных чисел. Условимся обозначать класс эквивалентности , в который входит последовательность символом . Таким образом,

Далее, если , то

В силу той же теоремы 7.3.7 это отношение эквивалентности во множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел монотонно относительно сложения и умножения.

Поэтому тернарные отношения, определяемые равенствами,

бинарные алгебраические операции на множестве F классов эквивалентных последовательностей рациональных чисел. Из теорем 2.9.3, 2.8.2 и 2.8.3 следует, что система — коммутативное кольцо с единицей. Таким образом построена интерпретация, на которой первые 10 аксиом нашей теории выполнены.

3) Покажем, что система — поле. Так как при гомоморфизме колец нуль переходит в нуль, а единица в единицу, то нуль кольца — это класс, содержащий стационарную последовательность , а единица — класс, содержащий стационарную последовательность . Пусть класс не является нулем кольца . В таком случае последовательности неэквивалентны, и, следовательно, последовательность не сходится к нулю. Но тогда по теореме 7.3.10 существуют рациональное число и подпоследовательность последовательности такие, что

В силу теоремы в силу теоремы 7.3.16 последовательность фундаментальна. Пусть

Нетрудно видеть, что а Таким образом, система — поле.

4) Введем в поле линейный порядок. Положительную часть определим условием

Покажем прежде всего, что принадлежность класса а к не зависит от выбора представителя класса. В самом деле, если , то существует такое натуральное число что

Поэтому

Далее, пусть класс а ненулевой. В силу теоремы 7.4.1 либо а, либо — а принадлежит к . Наконец, совсем нетрудно проверить, что

Тем самым система — упорядоченное поле. Полезно отметить следующее свойство, вытекающее из определения. Пусть

Если . Покажем, что введенный порядок архимедов. Пусть . Тогда

такие, что

Так как порядок в поле рациональных чисел архимедов, то существует натуральное k такое, что

А в таком случае

и в силу отмеченного свойства

Итак, в построенной интерпретации нашей теории выполнены первые пятнадцать аксиом.

5) Докажем, что любая фундаментальная последовательность элементов нашей системы сходится. Для этого выберем некоторое подполе упорядоченного поля и докажем, что любая фундаментальная последовательность выбранного подполя сходится в F. Из теорем 7.3.8 и 7.5.6 и будет следовать наше утверждение. Сначала определим подмножество Р множества F.

Элемент а множества F отнесем к Р в том и только том случае, если класс а содержит стационарную последовательность, т. е. если для некоторого рационального а

Легко проверить, что отображение является изоморфным отображением поля рациональных чисел на систему Отсюда следует, что система Р — поле. Заметим, что тогда и только тогда, если а — положительное рациональное число. Поэтому в указанном отображении фундаментальной последовательности элементов одного поля отвечает фундаментальная последовательность элементов второго поля. Пусть

(8.5.1)

какая-нибудь фундаментальная последовательность элементов поля Р. В силу сделанного замечания последовательность

(8.5.2)

фундаментальная последовательность рациональных чисел. Рассмотрим класс а и докажем, что Пусть

, где — положительное рациональное число. Так как последовательность (8.5.2) фундаментальна, то существует натуральное число такое, что для любого

Отсюда следует, что

Другими словами, последовательность (8.5.1) сходится к элементу множества F. Этим завершается доказательство теоремы.