4.11. Аксиома минимальности

Определение 4.11.1. Пусть имеется класс К каких-нибудь множеств. Под минимальным множеством класса К понимают Множество в случае, если:

Пример 4.11.1. Введем обозначения. Буквой Р будем обозначать множество всех простых чисел, а через для каждого натурального k — множество натуральных чисел, кратных k.

Класс Т множеств натуральных чисел определим так. К классу Т отнесем множество М в случае, если:

Легко видеть, что входят, например, в класс Т. При этом множество является минимальным в классе Т, так любое его собственное подмножество не входит в класс Т.

Пример 4.11.2, Рассмотрим класс систем с отношениями таких, что для каждой из них выполняются аксиомы

(4.11.2)

Всякое минимальное множество этого класса есть система натуральных чисел. В самом деле, пусть — минимальное множество класса . Аксиомы на выполняются. Покажем, что на выполняется. Пусть А — какое угодно подмножество удовлетворяющее условиям:

В таком случае выполняются на А, во-первых, аксиомы в силу указанных условий и, во-вторых, аксиомы так как они выполняются на любом подмножестве Таким образом, при наших предположениях в силу минимальности . Другими славами, и аксиома выполняется на

Наоборот, система натуральных чисел является минимальным множеством в классе Действительно, так как аксиомы N и выполнены. Пусть теперь М — подмножество N такое, что Тогда:

1) , так как аксиома выполняется на М;

2) , так как аксиома выполняется на М. Но на N выполнена аксиома индукции, а потому M=N.

Итак, — минимальное множество в классе

В связи с установленными здесь свойствами системы натуральных чисел аксиому индукции иногда называют аксиомой минимальности системы натуральных чисел.

Пример 4.11.3. Пусть — подкольцо (подтело) кольца элемент В. Рассмотрим класс всех подколец (подтел) кольца В с условием, что для всякого из К множество В содержит А и элемент . Этот класс не пуст, и пересечение всех колец класса К снова, как легко видеть (вопросы 2.6.4 и 2.6.5), принадлежит К и даже является минимальным множеством этого класса.

Определения 4.11.2 и 4.11.3. Пусть — кольцо, — его подкольцо (подтело), .

Кольцом (телом) t полученным путем присоединения к кольцу (телу) к элемента называют минимальное кольцо в классе К всех подколец (подтел) кольца В с условием, что для всякой системы из К множество содержит А и элемент

Обозначения. — кольцо, полученное путем присоединения к кольцу А элемента — тело, полученное путем присоединения к телу А элемента Полагают далее: .

Определение 4.11.4 и 4.11.5. Пусть линейная алгебра над полем — подполе системы — элементы множества А. Линейной алгеброй, полученной путем присоединения к полю Р элемента (элементов , называют пересечение всех линейных подалгебр алгебры А, содержащих поле Р и элемент (элементы .

Вопрос 4.11.1. Пусть линейная алгебра над полем — подполе системы . Обозначим символом линейную алгебру, полученную путем присоединения к полю Р элемента (элементов . Доказать, что: