6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел

Теорема 6.8.1. Аксиоматическая теория рациональных чисел непротиворечива.

Точнее говоря, мы докажем непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел относительно аксиоматической теории целых чисел.

Доказательство. Построим модель, на которой выполняются все 15 аксиом нашей теории. План доказательства:

1) построение поля;

2) включение кольца целых чисел. Для этой цели мы покажем, что некоторое подкольцо построенной интерпретации нашей теории изоморфно кольцу целых чисел и, значит, само является таковым;

3) проверка выполнения аксиомы минимальности.

Пусть — какая-нибудь система целых чисел.

1а) Рассмотрим множество Р пар целых чисел таких, что . Определим на Р бинарные операции следующим образом:

Нам известно (вопрос 2.6.17), что системы — коммутативные полугруппы с нейтральными элементами (0,1) и (1,1) соответственно.

1б) Введем на множестве Р бинарное отношение условием:

Известно (вопрос 2.9.2), что это отношение — отношение эквивалентности. Нетрудно проверить, что оно монотонно относительно обеих операций.

Определив во множестве Р классов эквивалентности тернарные отношения соглашениями:

мы немедленно заключаем, что соответствие, по которому с парой сопоставляется класс эквивалентности , содержащий эту пару, есть гомоморфное отображение системы ) на систему Из теоремы 2.8.2 следует, что системы и — коммутативные полугруппы с нейтральными элементами (0,1) и (1,1) соответственно.

1в) Докажем, что система — коммутативное кольцо. Прежде всего заметим, что

Проверим далее дистрибутивность умножения относительно сложения. Имеем:

Но

Поэтому

Таким образом, система — коммутативное кольцо. Нетрудно видеть, что класс , где , является нулем этого кольца.

1г) Докажем, что система — поле. Пусть , т. е. а Нам достаточно проверить, что уравнение

(6.8.1)

разрешимо в кольце . Но это так, ибо

2) Выделим в Р подмножество условием:

Проверим, что принадлежность не зависит от выбора представителя класса а. В самом деле, если то

Сопоставим с целым числом с класс Имеем

Далее, легко показать, что

для любых из Z. Таким образом, а — изоморфное отображение кольца целых чисел на Следовательно:

а) система сама является кольцом целых чисел;

б) поле — расширение кольца

3) Докажем, что на построенной интерпретации выполняется аксиома 15 (минимальности). Пусть М — какое угодно подмножество Р, удовлетворяющее двум условиям:

а) оно включает

б) для любых из М, если — не нуль кольца , их частное принадлежит М.

Покажем, что в таком случае Нам достаточно показать, что любой элемент из Р принадлежит М. Если то и, таким образом, . Пусть . Имеем

Итак, класс у есть частное двух классов из а потому входит в М. Теорема доказана.

Вопросы: 6.8.1. Доказать, что всякое минимальное упорядоченное тело изоморфно полю рациональных чисел.

6.8.2. Доказать, что всякое тело характеристики нуль, т. е. тело, в котором все кратные единицы различны, содержит и только одно подполе, изоморфное полю рациональных чисел.

6.8.3. Доказать, что всякое тело характеристики нуль содержит и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел.

6.8.4. Доказать, что всякое тело характеристики нуль содержит и только одно полукольцо, изоморфное полукольцу натуральных чисел.